Sr Examen

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log(n)/n
Trazado el gráfico de la función/ log(n)/n

Gráfico de la función y = log(n)/n

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(n)
f(n) = ------
         n
$$f{\left(n \right)} = \frac{\log{\left(n \right)}}{n}$$ 
f = log(n)/n
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$n_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje N con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(n \right)}}{n} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje N:

Solución analítica
$$n_{1} = 1$$
Solución numérica
$$n_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$n_{1} = e$$
Signos de extremos en los puntos:
     -1 
(E, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$n_{1} = e$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d n^{2}} f{\left(n \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \log{\left(n \right)} - 3}{n^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$n_{1} = e^{\frac{3}{2}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$n_{1} = 0$$

$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{2 \log{\left(n \right)} - 3}{n^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(n \right)} - 3}{n^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$n_{1} = 0$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$n_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con n->+oo y n->-oo
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{n}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{n}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(n)/n, dividida por n con n->+oo y n ->-oo
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Gráfico
Gráfico de la función y = log(n)/n
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