Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 2 x - \cot^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -21.8392557226829$$
$$x_{2} = -59.7818418880472$$
$$x_{3} = -5.99009330227228$$
$$x_{4} = -25.2738622332273$$
$$x_{5} = -9.65436382808417$$
$$x_{6} = -0.864256582470705$$
$$x_{7} = -15.8863153999831$$
$$x_{8} = -3.52759021853099$$
$$x_{9} = -81.759690474113$$
$$x_{10} = -2.69641593050642$$
Signos de extremos en los puntos:
(-21.839255722682925, -470.420211259237)
(-59.78184188804721, -3584.75731475584)
(-5.9900933022722755, -32.5675813075879)
(-25.273862233227312, -645.807126636935)
(-9.654363828084174, -97.4856108291149)
(-0.8642565824707046, -1.60046926697064)
(-15.886315399983078, -257.922325416155)
(-3.5275902185309915, -14.9046203733768)
(-81.75969047411297, -6697.39529536741)
(-2.696415930506415, -5.17475050850078)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -21.8392557226829$$
$$x_{2} = -5.99009330227228$$
$$x_{3} = -2.69641593050642$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = -59.7818418880472$$
$$x_{3} = -25.2738622332273$$
$$x_{3} = -9.65436382808417$$
$$x_{3} = -0.864256582470705$$
$$x_{3} = -15.8863153999831$$
$$x_{3} = -3.52759021853099$$
$$x_{3} = -81.759690474113$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2.69641593050642, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -21.8392557226829\right]$$