Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cot(x)-x^2

Gráfico de la función y = cot(x)-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2
f(x) = cot(x) - x
f(x)=−x2+cot⁡(x)f{\left(x \right)} = - x^{2} + \cot{\left(x \right)} 
f = -x^2 + cot(x)
Gráfico de la función
1.41.61.82.02.22.42.62.83.03.2-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+cot⁡(x)=0- x^{2} + \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.895206045384232x_{1} = 0.895206045384232
x2=−3.03333516511927x_{2} = -3.03333516511927
x3=3.23675529920464x_{3} = 3.23675529920464
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x−cot⁡2(x)−1=0- 2 x - \cot^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−21.8392557226829x_{1} = -21.8392557226829
x2=−59.7818418880472x_{2} = -59.7818418880472
x3=−5.99009330227228x_{3} = -5.99009330227228
x4=−25.2738622332273x_{4} = -25.2738622332273
x5=−9.65436382808417x_{5} = -9.65436382808417
x6=−0.864256582470705x_{6} = -0.864256582470705
x7=−15.8863153999831x_{7} = -15.8863153999831
x8=−3.52759021853099x_{8} = -3.52759021853099
x9=−81.759690474113x_{9} = -81.759690474113
x10=−2.69641593050642x_{10} = -2.69641593050642
Signos de extremos en los puntos:
(-21.839255722682925, -470.420211259237)

(-59.78184188804721, -3584.75731475584)

(-5.9900933022722755, -32.5675813075879)

(-25.273862233227312, -645.807126636935)

(-9.654363828084174, -97.4856108291149)

(-0.8642565824707046, -1.60046926697064)

(-15.886315399983078, -257.922325416155)

(-3.5275902185309915, -14.9046203733768)

(-81.75969047411297, -6697.39529536741)

(-2.696415930506415, -5.17475050850078)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−21.8392557226829x_{1} = -21.8392557226829
x2=−5.99009330227228x_{2} = -5.99009330227228
x3=−2.69641593050642x_{3} = -2.69641593050642
Puntos máximos de la función:
x3=−59.7818418880472x_{3} = -59.7818418880472
x3=−25.2738622332273x_{3} = -25.2738622332273
x3=−9.65436382808417x_{3} = -9.65436382808417
x3=−0.864256582470705x_{3} = -0.864256582470705
x3=−15.8863153999831x_{3} = -15.8863153999831
x3=−3.52759021853099x_{3} = -3.52759021853099
x3=−81.759690474113x_{3} = -81.759690474113
Decrece en los intervalos
[−2.69641593050642,∞)\left[-2.69641593050642, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−21.8392557226829]\left(-\infty, -21.8392557226829\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)−1)=02 \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−acot⁡(−12+93183+1312+93183)x_{1} = - \operatorname{acot}{\left(- \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{93}}{18}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{93}}{18}}} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−acot⁡(−12+93183+1312+93183)]\left(-\infty, - \operatorname{acot}{\left(- \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{93}}{18}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{93}}{18}}} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−acot⁡(−12+93183+1312+93183),∞)\left[- \operatorname{acot}{\left(- \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{93}}{18}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{93}}{18}}} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(−x2+cot⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \cot{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−x2+cot⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \cot{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−x2+cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(−x2+cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+cot⁡(x)=−x2−cot⁡(x)- x^{2} + \cot{\left(x \right)} = - x^{2} - \cot{\left(x \right)}
- No
−x2+cot⁡(x)=x2+cot⁡(x)- x^{2} + \cot{\left(x \right)} = x^{2} + \cot{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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