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Trazado el gráfico de la función/ x-2x*arctgx

Gráfico de la función y = x-2x*arctgx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x - 2*x*acot(x)
f(x)=x−2xacot⁡(x)f{\left(x \right)} = x - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)} 
f = x - 2*x*acot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−2xacot⁡(x)=0x - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=cot⁡(12)x_{2} = \cot{\left(\frac{1}{2} \right)}
Solución numérica
x1=1.83048772171245x_{1} = 1.83048772171245
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - 2*x*acot(x).
−0⋅2acot⁡(0)- 0 \cdot 2 \operatorname{acot}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx2+1−2acot⁡(x)+1=0\frac{2 x}{x^{2} + 1} - 2 \operatorname{acot}{\left(x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.689309029287377x_{1} = 0.689309029287377
Signos de extremos en los puntos:
(0.6893090292873767, -0.644202859611172)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.689309029287377x_{1} = 0.689309029287377
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0.689309029287377,∞)\left[0.689309029287377, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.689309029287377]\left(-\infty, 0.689309029287377\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−x2x2+1+1)x2+1=0\frac{4 \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−2xacot⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−2xacot⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - 2*x*acot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−2xacot⁡(x)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x−2xacot⁡(x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−2xacot⁡(x)=−2xacot⁡(x)−xx - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)} = - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)} - x
- No
x−2xacot⁡(x)=2xacot⁡(x)+xx - 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 2 x \operatorname{acot}{\left(x \right)} + x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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