Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 2*sqrt(x) 2*sqrt(x)
  • cos(x)+sin(x) cos(x)+sin(x)
  • y^2+1 y^2+1
  • x^3-3*x x^3-3*x
  • Derivada de:
  • (x^2-1)/(x^3+1) (x^2-1)/(x^3+1)
  • ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
  • (x^2-1)/(x^3+1)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos - uno)/(x^ tres + uno)
  • (x al cuadrado menos 1) dividir por (x al cubo más 1)
  • (x en el grado dos menos uno) dividir por (x en el grado tres más uno)
  • (x2-1)/(x3+1)
  • x2-1/x3+1
  • (x²-1)/(x³+1)
  • (x en el grado 2-1)/(x en el grado 3+1)
  • x^2-1/x^3+1
  • (x^2-1) dividir por (x^3+1)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2-1)/(x^3-1)
  • (x^2+1)/(x^3+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-1)/(x^3+1)

Gráfico de la función y = (x^2-1)/(x^3+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  - 1
f(x) = ------
        3    
       x  + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1}$$ 
f = (x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 1)/(x^3 + 1).
$$\frac{-1 + 0^{2}}{0^{3} + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{3} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

(2, 1/3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} + 1} + \frac{3 x \left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} + 1\right)}{x^{3} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} + 1} + \frac{3 x \left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} + 1\right)}{x^{3} + 1}\right) = -0.222222222222222$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{3} + 1} + \frac{3 x \left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1} - 1\right)}{x^{3} + 1} + 1\right)}{x^{3} + 1}\right) = -0.222222222222222$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)/(x^3 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{3} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1} = \frac{x^{2} - 1}{1 - x^{3}}$$
- No
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1} = - \frac{x^{2} - 1}{1 - x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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