Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
4/(x^2-1)
-
3*x^2-6*x+1
-
(3/x)-(1/x^3)
-
-3*x^2+2*x
-
Expresiones idénticas
- (tres /x)-(uno /x^ tres)
- (3 dividir por x) menos (1 dividir por x al cubo )
- (tres dividir por x) menos (uno dividir por x en el grado tres)
- (3/x)-(1/x3)
- 3/x-1/x3
- (3/x)-(1/x³)
- (3/x)-(1/x en el grado 3)
- 3/x-1/x^3
- (3 dividir por x)-(1 dividir por x^3)
-
Expresiones semejantes
- (3/x)+(1/x^3)
Gráfico de la función y = (3/x)-(1/x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
3 1
f(x) = - - --
x 3
x
$$f{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}$$
f = -1/x^3 + 3/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -2)
(1, 2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \left(1 - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3/x - 1/x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{3}}$$
- No
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{3}}$$
- No
$$- \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{x} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico