Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{2 x \left(2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}\right)}{x^{2} - 1} - 2 x \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{2 x \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + 2 + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x + 2} + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x - 1} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)}}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{- \frac{2 x \left(2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}\right)}{x^{2} - 1} - 2 x \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{2 x \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + 2 + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x + 2} + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x - 1} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{- \frac{2 x \left(2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}\right)}{x^{2} - 1} - 2 x \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{2 x \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + 2 + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x + 2} + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x - 1} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{2 x \left(2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}\right)}{x^{2} - 1} - 2 x \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{2 x \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + 2 + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x + 2} + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x - 1} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)}}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{2 x \left(2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}\right)}{x^{2} - 1} - 2 x \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - \frac{2 x \left(2 x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + 2 + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x + 2} + \frac{2 x - \frac{\left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{x - 1} - \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)}}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{3}{2}, \infty\right)$$