Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • e^(-x^2) e^(-x^2)
  • 4*x-x^2 4*x-x^2
  • x*e^(-x)^2 x*e^(-x)^2
  • 2*x^3-15*x^2+36*x-32 2*x^3-15*x^2+36*x-32
  • Integral de d{x}:
  • (x^2)*(8-x^2)^(1/2)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos)*(ocho -x^ dos)^(uno / dos)
  • (x al cuadrado ) multiplicar por (8 menos x al cuadrado ) en el grado (1 dividir por 2)
  • (x en el grado dos) multiplicar por (ocho menos x en el grado dos) en el grado (uno dividir por dos)
  • (x2)*(8-x2)(1/2)
  • x2*8-x21/2
  • (x²)*(8-x²)^(1/2)
  • (x en el grado 2)*(8-x en el grado 2) en el grado (1/2)
  • (x^2)(8-x^2)^(1/2)
  • (x2)(8-x2)(1/2)
  • x28-x21/2
  • x^28-x^2^1/2
  • (x^2)*(8-x^2)^(1 dividir por 2)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2)*(8+x^2)^(1/2)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2)*(8-x^2)^(1/2)

Gráfico de la función y = (x^2)*(8-x^2)^(1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             ________
        2   /      2 
f(x) = x *\/  8 - x
f(x)=x28−x2f{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{8 - x^{2}} 
f = x^2*sqrt(8 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x28−x2=0x^{2} \sqrt{8 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−22x_{2} = - 2 \sqrt{2}
x3=22x_{3} = 2 \sqrt{2}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2.82842712474619x_{2} = -2.82842712474619
x3=2.82842712474619x_{3} = 2.82842712474619
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*sqrt(8 - x^2).
028−020^{2} \sqrt{8 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x38−x2+2x8−x2=0- \frac{x^{3}}{\sqrt{8 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{8 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−433x_{2} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}
x3=433x_{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

      ___       ___ 
 -4*\/ 3   32*\/ 6  
(--------, --------)
    3         9     

     ___       ___ 
 4*\/ 3   32*\/ 6  
(-------, --------)
    3        9


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−433x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}
x1=433x_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−433]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[433,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x2(x2x2−8−1)8−x2−4x28−x2+28−x2=0\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{\sqrt{8 - x^{2}}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{8 - x^{2}}} + 2 \sqrt{8 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−232−336x_{1} = - 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}
x2=232−336x_{2} = 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}
x3=−2336+32x_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{6} + \frac{3}{2}}
x4=2336+32x_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{6} + \frac{3}{2}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−232−336,232−336]\left[- 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}, 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−232−336]∪[232−336,∞)\left(-\infty, - 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}\right] \cup \left[2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x28−x2)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x28−x2)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*sqrt(8 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x8−x2)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{8 - x^{2}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x8−x2)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{8 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x28−x2=x28−x2x^{2} \sqrt{8 - x^{2}} = x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}
- Sí
x28−x2=−x28−x2x^{2} \sqrt{8 - x^{2}} = - x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
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