Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 7-x-2*x^2 7-x-2*x^2
  • y=x^3 y=x^3
  • (3*x-4)^40/(x^2-2)^36 (3*x-4)^40/(x^2-2)^36
  • y=x^2-x y=x^2-x
  • Integral de d{x}:
  • (x^2)*(8-x^2)^(1/2)
  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos)*(ocho -x^ dos)^(uno / dos)
  • (x al cuadrado ) multiplicar por (8 menos x al cuadrado ) en el grado (1 dividir por 2)
  • (x en el grado dos) multiplicar por (ocho menos x en el grado dos) en el grado (uno dividir por dos)
  • (x2)*(8-x2)(1/2)
  • x2*8-x21/2
  • (x²)*(8-x²)^(1/2)
  • (x en el grado 2)*(8-x en el grado 2) en el grado (1/2)
  • (x^2)(8-x^2)^(1/2)
  • (x2)(8-x2)(1/2)
  • x28-x21/2
  • x^28-x^2^1/2
  • (x^2)*(8-x^2)^(1 dividir por 2)
  • Expresiones semejantes

  • (x^2)*(8+x^2)^(1/2)

Gráfico de la función y = (x^2)*(8-x^2)^(1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             ________
        2   /      2 
f(x) = x *\/  8 - x  
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}$$
f = x^2*sqrt(8 - x^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \sqrt{8 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2.82842712474619$$
$$x_{3} = 2.82842712474619$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*sqrt(8 - x^2).
$$0^{2} \sqrt{8 - 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{3}}{\sqrt{8 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{8 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

      ___       ___ 
 -4*\/ 3   32*\/ 6  
(--------, --------)
    3         9     

     ___       ___ 
 4*\/ 3   32*\/ 6  
(-------, --------)
    3        9     


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{\sqrt{8 - x^{2}}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{8 - x^{2}}} + 2 \sqrt{8 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{6} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{6} + \frac{3}{2}}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}, 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}\right] \cup \left[2 \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6}}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*sqrt(8 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{8 - x^{2}}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{8 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \sqrt{8 - x^{2}} = x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}$$
- Sí
$$x^{2} \sqrt{8 - x^{2}} = - x^{2} \sqrt{8 - x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par