Sr Examen

Gráfico de la función y = |x^2+4x+3|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       | 2          |
f(x) = |x  + 4*x + 3|
$$f{\left(x \right)} = \left|{\left(x^{2} + 4 x\right) + 3}\right|$$
f = |x^2 + 4*x + 3|
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\left(x^{2} + 4 x\right) + 3}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x^2 + 4*x + 3|.
$$\left|{\left(0^{2} + 0 \cdot 4\right) + 3}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Punto:
(0, 3)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(4 \left(x + 2\right)^{2} \delta\left(x^{2} + 4 x + 3\right) + \operatorname{sign}{\left(x^{2} + 4 x + 3 \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(x^{2} + 4 x\right) + 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left(x^{2} + 4 x\right) + 3}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x^2 + 4*x + 3|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left(x^{2} + 4 x\right) + 3}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left(x^{2} + 4 x\right) + 3}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\left(x^{2} + 4 x\right) + 3}\right| = \left|{x^{2} - 4 x + 3}\right|$$
- No
$$\left|{\left(x^{2} + 4 x\right) + 3}\right| = - \left|{x^{2} - 4 x + 3}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar