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sech(x)
Trazado el gráfico de la función/ sech(x)

Gráfico de la función y = sech(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sech(x)
f(x)=sech⁡(x)f{\left(x \right)} = \operatorname{sech}{\left(x \right)} 
f = sech(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sech⁡(x)=0\operatorname{sech}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sech(x).
sech⁡(0)\operatorname{sech}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−tanh⁡(x)sech⁡(x)=0- \tanh{\left(x \right)} \operatorname{sech}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2tanh⁡2(x)−1)sech⁡(x)=0\left(2 \tanh^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \operatorname{sech}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=log⁡(−1+2)x_{1} = \log{\left(-1 + \sqrt{2} \right)}
x2=log⁡(1+2)x_{2} = \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,log⁡(−1+2)]∪[log⁡(1+2),∞)\left(-\infty, \log{\left(-1 + \sqrt{2} \right)}\right] \cup \left[\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[log⁡(−1+2),log⁡(1+2)]\left[\log{\left(-1 + \sqrt{2} \right)}, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sech⁡(x)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sech}{\left(x \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞sech⁡(x)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{sech}{\left(x \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sech(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sech⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{sech}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sech⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{sech}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sech⁡(x)=sech⁡(x)\operatorname{sech}{\left(x \right)} = \operatorname{sech}{\left(x \right)}
- Sí
sech⁡(x)=−sech⁡(x)\operatorname{sech}{\left(x \right)} = - \operatorname{sech}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sech(x)
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