Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$6 x^{2} - 10 x - 3 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{43}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{43}}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
2 3
____ ____ / ____\ / ____\
5 \/ 43 5 \/ 43 |5 \/ 43 | |5 \/ 43 |
(- - ------, - - + ------ - 5*|- - ------| + 2*|- - ------| )
6 6 2 2 \6 6 / \6 6 /
2 3
____ / ____\ / ____\ ____
5 \/ 43 5 |5 \/ 43 | |5 \/ 43 | \/ 43
(- + ------, - - - 5*|- + ------| + 2*|- + ------| - ------)
6 6 2 \6 6 / \6 6 / 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{43}}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{43}}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{43}}{6}\right] \cup \left[\frac{5}{6} + \frac{\sqrt{43}}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{6} - \frac{\sqrt{43}}{6}, \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{43}}{6}\right]$$