Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x
-
x+5
-
x^2-3
-
e^5*x
- Límite de la función:
-
cos(pi/x)
-
Expresiones idénticas
- cos(pi/x)
- coseno de ( número pi dividir por x)
- cospi/x
- cos(pi dividir por x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)+3
- cos(1/x)*sin(x)
- cos(2x)
- cos(x)^(x^(-2))
- cos(x-pi/4)
- Número Pi pi
- pi-2*((sinx/1)+(sin2x/2)+(sin3x/3)+(sin4x/4)+(sin5x/5)+(sin6x/6))
- pi-asin(1/tanh(t))
- pi-x+sin(x)*cos(x)
- pi+arctg(0,029*x)-arctg(0,12*x)+arctg(5*x)+arctg(0,0158*x)
- pi-asin((1+exp(15*cos(t^2/3)))/(1-exp(15*cos(t^2/3))))
Gráfico de la función y = cos(pi/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/pi\
f(x) = cos|--|
\x /
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
f = cos(pi/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.666666666666667$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, -1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4380.39633644888$$
$$x_{2} = 7214.48055455131$$
$$x_{3} = -3910.74040550788$$
$$x_{4} = 3072.8755443295$$
$$x_{5} = -10451.3685950099$$
$$x_{6} = 10267.0834950414$$
$$x_{7} = 8522.70557092197$$
$$x_{8} = -5654.57278235293$$
$$x_{9} = -3474.89721302176$$
$$x_{10} = -4128.68563587176$$
$$x_{11} = 5034.3327511695$$
$$x_{12} = 6124.35721793024$$
$$x_{13} = 9394.8859895067$$
$$x_{14} = -2603.51168596997$$
$$x_{15} = 8304.66376767566$$
$$x_{16} = 8086.62349887863$$
$$x_{17} = 4598.36644728847$$
$$x_{18} = -10015.2665666667$$
$$x_{19} = 2419.48327847189$$
$$x_{20} = -5000.57585593862$$
$$x_{21} = -3039.13980770151$$
$$x_{22} = 8740.74879365927$$
$$x_{23} = -3257.0056190349$$
$$x_{24} = 7650.54809009149$$
$$x_{25} = 4816.34564707535$$
$$x_{26} = -10233.3171711293$$
$$x_{27} = -5436.56807965388$$
$$x_{28} = 3944.48943650256$$
$$x_{29} = 6778.42241419512$$
$$x_{30} = 3290.74569867703$$
$$x_{31} = 6342.37561040122$$
$$x_{32} = -8052.85899460141$$
$$x_{33} = 3726.55656556972$$
$$x_{34} = 9176.839092469$$
$$x_{35} = -6308.61411253876$$
$$x_{36} = -4564.61203031467$$
$$x_{37} = -7180.71728118609$$
$$x_{38} = 10049.0327602721$$
$$x_{39} = 4162.43674859374$$
$$x_{40} = -10669.4207880326$$
$$x_{41} = -8270.89901480149$$
$$x_{42} = 2855.0361522398$$
$$x_{43} = -7616.78414851866$$
$$x_{44} = 10703.1873490195$$
$$x_{45} = 5252.32677234155$$
$$x_{46} = 8958.79333213496$$
$$x_{47} = 5688.33237619656$$
$$x_{48} = -9143.07351655573$$
$$x_{49} = -8706.98359840237$$
$$x_{50} = 6560.39745368646$$
$$x_{51} = 7868.58489225002$$
$$x_{52} = 9830.9828908882$$
$$x_{53} = -5218.56886424101$$
$$x_{54} = -4346.64344739395$$
$$x_{55} = 6996.45020000492$$
$$x_{56} = 5470.32688127597$$
$$x_{57} = -6744.65994267352$$
$$x_{58} = 10921.2403729465$$
$$x_{59} = -2821.3058066811$$
$$x_{60} = -6090.5962870989$$
$$x_{61} = -5872.5823597212$$
$$x_{62} = -6526.63544462699$$
$$x_{63} = 5906.34265924616$$
$$x_{64} = -10887.4737039524$$
$$x_{65} = 7432.51325143022$$
$$x_{66} = 9612.9339458279$$
$$x_{67} = -8488.9405883437$$
$$x_{68} = 3508.64084297269$$
$$x_{69} = -8925.02793958268$$
$$x_{70} = -9579.16804001135$$
$$x_{71} = -9361.12024288468$$
$$x_{72} = 2201.79505915415$$
$$x_{73} = -3692.80999602316$$
$$x_{74} = -4782.5899063193$$
$$x_{75} = -7834.8206575933$$
$$x_{76} = -7398.74962920908$$
$$x_{77} = 10485.1350411652$$
$$x_{78} = -6962.68730875067$$
$$x_{79} = -9797.2168363785$$
$$x_{80} = 2637.23522503622$$
$$x_{81} = -2385.7685054801$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4380.39633644888$$
$$x_{2} = 7214.48055455131$$
$$x_{3} = -3910.74040550788$$
$$x_{4} = 3072.8755443295$$
$$x_{5} = -10451.3685950099$$
$$x_{6} = 10267.0834950414$$
$$x_{7} = 8522.70557092197$$
$$x_{8} = -5654.57278235293$$
$$x_{9} = -3474.89721302176$$
$$x_{10} = -4128.68563587176$$
$$x_{11} = 5034.3327511695$$
$$x_{12} = 6124.35721793024$$
$$x_{13} = 9394.8859895067$$
$$x_{14} = -2603.51168596997$$
$$x_{15} = 8304.66376767566$$
$$x_{16} = 8086.62349887863$$
$$x_{17} = 4598.36644728847$$
$$x_{18} = -10015.2665666667$$
$$x_{19} = 2419.48327847189$$
$$x_{20} = -5000.57585593862$$
$$x_{21} = -3039.13980770151$$
$$x_{22} = 8740.74879365927$$
$$x_{23} = -3257.0056190349$$
$$x_{24} = 7650.54809009149$$
$$x_{25} = 4816.34564707535$$
$$x_{26} = -10233.3171711293$$
$$x_{27} = -5436.56807965388$$
$$x_{28} = 3944.48943650256$$
$$x_{29} = 6778.42241419512$$
$$x_{30} = 3290.74569867703$$
$$x_{31} = 6342.37561040122$$
$$x_{32} = -8052.85899460141$$
$$x_{33} = 3726.55656556972$$
$$x_{34} = 9176.839092469$$
$$x_{35} = -6308.61411253876$$
$$x_{36} = -4564.61203031467$$
$$x_{37} = -7180.71728118609$$
$$x_{38} = 10049.0327602721$$
$$x_{39} = 4162.43674859374$$
$$x_{40} = -10669.4207880326$$
$$x_{41} = -8270.89901480149$$
$$x_{42} = 2855.0361522398$$
$$x_{43} = -7616.78414851866$$
$$x_{44} = 10703.1873490195$$
$$x_{45} = 5252.32677234155$$
$$x_{46} = 8958.79333213496$$
$$x_{47} = 5688.33237619656$$
$$x_{48} = -9143.07351655573$$
$$x_{49} = -8706.98359840237$$
$$x_{50} = 6560.39745368646$$
$$x_{51} = 7868.58489225002$$
$$x_{52} = 9830.9828908882$$
$$x_{53} = -5218.56886424101$$
$$x_{54} = -4346.64344739395$$
$$x_{55} = 6996.45020000492$$
$$x_{56} = 5470.32688127597$$
$$x_{57} = -6744.65994267352$$
$$x_{58} = 10921.2403729465$$
$$x_{59} = -2821.3058066811$$
$$x_{60} = -6090.5962870989$$
$$x_{61} = -5872.5823597212$$
$$x_{62} = -6526.63544462699$$
$$x_{63} = 5906.34265924616$$
$$x_{64} = -10887.4737039524$$
$$x_{65} = 7432.51325143022$$
$$x_{66} = 9612.9339458279$$
$$x_{67} = -8488.9405883437$$
$$x_{68} = 3508.64084297269$$
$$x_{69} = -8925.02793958268$$
$$x_{70} = -9579.16804001135$$
$$x_{71} = -9361.12024288468$$
$$x_{72} = 2201.79505915415$$
$$x_{73} = -3692.80999602316$$
$$x_{74} = -4782.5899063193$$
$$x_{75} = -7834.8206575933$$
$$x_{76} = -7398.74962920908$$
$$x_{77} = 10485.1350411652$$
$$x_{78} = -6962.68730875067$$
$$x_{79} = -9797.2168363785$$
$$x_{80} = 2637.23522503622$$
$$x_{81} = -2385.7685054801$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
True
True
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(pi/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico