Sr Examen

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cos(pi/x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(pi/x)

Gráfico de la función y = cos(pi/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /pi\
f(x) = cos|--|
          \x /
f(x)=cos⁡(πx)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} 
f = cos(pi/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(πx)=0\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=0.666666666666667x_{1} = 0.666666666666667
x2=−2x_{2} = -2
x3=2x_{3} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(pi/x).
cos⁡(π0)\cos{\left(\frac{\pi}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
πsin⁡(πx)x2=0\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−π(2sin⁡(πx)+πcos⁡(πx)x)x3=0- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4380.39633644888x_{1} = 4380.39633644888
x2=7214.48055455131x_{2} = 7214.48055455131
x3=−3910.74040550788x_{3} = -3910.74040550788
x4=3072.8755443295x_{4} = 3072.8755443295
x5=−10451.3685950099x_{5} = -10451.3685950099
x6=10267.0834950414x_{6} = 10267.0834950414
x7=8522.70557092197x_{7} = 8522.70557092197
x8=−5654.57278235293x_{8} = -5654.57278235293
x9=−3474.89721302176x_{9} = -3474.89721302176
x10=−4128.68563587176x_{10} = -4128.68563587176
x11=5034.3327511695x_{11} = 5034.3327511695
x12=6124.35721793024x_{12} = 6124.35721793024
x13=9394.8859895067x_{13} = 9394.8859895067
x14=−2603.51168596997x_{14} = -2603.51168596997
x15=8304.66376767566x_{15} = 8304.66376767566
x16=8086.62349887863x_{16} = 8086.62349887863
x17=4598.36644728847x_{17} = 4598.36644728847
x18=−10015.2665666667x_{18} = -10015.2665666667
x19=2419.48327847189x_{19} = 2419.48327847189
x20=−5000.57585593862x_{20} = -5000.57585593862
x21=−3039.13980770151x_{21} = -3039.13980770151
x22=8740.74879365927x_{22} = 8740.74879365927
x23=−3257.0056190349x_{23} = -3257.0056190349
x24=7650.54809009149x_{24} = 7650.54809009149
x25=4816.34564707535x_{25} = 4816.34564707535
x26=−10233.3171711293x_{26} = -10233.3171711293
x27=−5436.56807965388x_{27} = -5436.56807965388
x28=3944.48943650256x_{28} = 3944.48943650256
x29=6778.42241419512x_{29} = 6778.42241419512
x30=3290.74569867703x_{30} = 3290.74569867703
x31=6342.37561040122x_{31} = 6342.37561040122
x32=−8052.85899460141x_{32} = -8052.85899460141
x33=3726.55656556972x_{33} = 3726.55656556972
x34=9176.839092469x_{34} = 9176.839092469
x35=−6308.61411253876x_{35} = -6308.61411253876
x36=−4564.61203031467x_{36} = -4564.61203031467
x37=−7180.71728118609x_{37} = -7180.71728118609
x38=10049.0327602721x_{38} = 10049.0327602721
x39=4162.43674859374x_{39} = 4162.43674859374
x40=−10669.4207880326x_{40} = -10669.4207880326
x41=−8270.89901480149x_{41} = -8270.89901480149
x42=2855.0361522398x_{42} = 2855.0361522398
x43=−7616.78414851866x_{43} = -7616.78414851866
x44=10703.1873490195x_{44} = 10703.1873490195
x45=5252.32677234155x_{45} = 5252.32677234155
x46=8958.79333213496x_{46} = 8958.79333213496
x47=5688.33237619656x_{47} = 5688.33237619656
x48=−9143.07351655573x_{48} = -9143.07351655573
x49=−8706.98359840237x_{49} = -8706.98359840237
x50=6560.39745368646x_{50} = 6560.39745368646
x51=7868.58489225002x_{51} = 7868.58489225002
x52=9830.9828908882x_{52} = 9830.9828908882
x53=−5218.56886424101x_{53} = -5218.56886424101
x54=−4346.64344739395x_{54} = -4346.64344739395
x55=6996.45020000492x_{55} = 6996.45020000492
x56=5470.32688127597x_{56} = 5470.32688127597
x57=−6744.65994267352x_{57} = -6744.65994267352
x58=10921.2403729465x_{58} = 10921.2403729465
x59=−2821.3058066811x_{59} = -2821.3058066811
x60=−6090.5962870989x_{60} = -6090.5962870989
x61=−5872.5823597212x_{61} = -5872.5823597212
x62=−6526.63544462699x_{62} = -6526.63544462699
x63=5906.34265924616x_{63} = 5906.34265924616
x64=−10887.4737039524x_{64} = -10887.4737039524
x65=7432.51325143022x_{65} = 7432.51325143022
x66=9612.9339458279x_{66} = 9612.9339458279
x67=−8488.9405883437x_{67} = -8488.9405883437
x68=3508.64084297269x_{68} = 3508.64084297269
x69=−8925.02793958268x_{69} = -8925.02793958268
x70=−9579.16804001135x_{70} = -9579.16804001135
x71=−9361.12024288468x_{71} = -9361.12024288468
x72=2201.79505915415x_{72} = 2201.79505915415
x73=−3692.80999602316x_{73} = -3692.80999602316
x74=−4782.5899063193x_{74} = -4782.5899063193
x75=−7834.8206575933x_{75} = -7834.8206575933
x76=−7398.74962920908x_{76} = -7398.74962920908
x77=10485.1350411652x_{77} = 10485.1350411652
x78=−6962.68730875067x_{78} = -6962.68730875067
x79=−9797.2168363785x_{79} = -9797.2168363785
x80=2637.23522503622x_{80} = 2637.23522503622
x81=−2385.7685054801x_{81} = -2385.7685054801
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(πx)=1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞cos⁡(πx)=1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(pi/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(πx)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(πx)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(πx)=cos⁡(πx)\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}
- Sí
cos⁡(πx)=−cos⁡(πx)\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(pi/x)
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