Sr Examen

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cos(pi*x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(pi*x)

Gráfico de la función y = cos(pi*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(pi*x)
f(x)=cos⁡(πx)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)} 
f = cos(pi*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(πx)=0\cos{\left(\pi x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
x2=32x_{2} = \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=54.5x_{1} = 54.5
x2=12.5x_{2} = 12.5
x3=−43.5x_{3} = -43.5
x4=−13.5x_{4} = -13.5
x5=82.5x_{5} = 82.5
x6=−75.5x_{6} = -75.5
x7=62.5x_{7} = 62.5
x8=46.5x_{8} = 46.5
x9=32.5x_{9} = 32.5
x10=42.5x_{10} = 42.5
x11=26.5x_{11} = 26.5
x12=4.5x_{12} = 4.5
x13=48.5x_{13} = 48.5
x14=−7.5x_{14} = -7.5
x15=−41.5x_{15} = -41.5
x16=72.5x_{16} = 72.5
x17=96.5x_{17} = 96.5
x18=−55.5x_{18} = -55.5
x19=56.5x_{19} = 56.5
x20=−37.5x_{20} = -37.5
x21=84.5x_{21} = 84.5
x22=28.5x_{22} = 28.5
x23=70.5x_{23} = 70.5
x24=−3.5x_{24} = -3.5
x25=−51.5x_{25} = -51.5
x26=10.5x_{26} = 10.5
x27=8.5x_{27} = 8.5
x28=−89.5x_{28} = -89.5
x29=74.5x_{29} = 74.5
x30=−81.5x_{30} = -81.5
x31=−71.5x_{31} = -71.5
x32=−87.5x_{32} = -87.5
x33=−97.5x_{33} = -97.5
x34=68.5x_{34} = 68.5
x35=−53.5x_{35} = -53.5
x36=34.5x_{36} = 34.5
x37=94.5x_{37} = 94.5
x38=−93.5x_{38} = -93.5
x39=−31.5x_{39} = -31.5
x40=60.5x_{40} = 60.5
x41=−91.5x_{41} = -91.5
x42=−65.5x_{42} = -65.5
x43=−73.5x_{43} = -73.5
x44=−5.5x_{44} = -5.5
x45=−23.5x_{45} = -23.5
x46=−95.5x_{46} = -95.5
x47=−67.5x_{47} = -67.5
x48=78.5x_{48} = 78.5
x49=−15.5x_{49} = -15.5
x50=−19.5x_{50} = -19.5
x51=14.5x_{51} = 14.5
x52=22.5x_{52} = 22.5
x53=−85.5x_{53} = -85.5
x54=0.5x_{54} = 0.5
x55=−99.5x_{55} = -99.5
x56=92.5x_{56} = 92.5
x57=−21.5x_{57} = -21.5
x58=−35.5x_{58} = -35.5
x59=90.5x_{59} = 90.5
x60=−63.5x_{60} = -63.5
x61=66.5x_{61} = 66.5
x62=−27.5x_{62} = -27.5
x63=18.5x_{63} = 18.5
x64=44.5x_{64} = 44.5
x65=−45.5x_{65} = -45.5
x66=−79.5x_{66} = -79.5
x67=−9.5x_{67} = -9.5
x68=−59.5x_{68} = -59.5
x69=16.5x_{69} = 16.5
x70=−33.5x_{70} = -33.5
x71=52.5x_{71} = 52.5
x72=−61.5x_{72} = -61.5
x73=6.5x_{73} = 6.5
x74=30.5x_{74} = 30.5
x75=58.5x_{75} = 58.5
x76=64.5x_{76} = 64.5
x77=−49.5x_{77} = -49.5
x78=−77.5x_{78} = -77.5
x79=86.5x_{79} = 86.5
x80=80.5x_{80} = 80.5
x81=98.5x_{81} = 98.5
x82=38.5x_{82} = 38.5
x83=2.5x_{83} = 2.5
x84=100.5x_{84} = 100.5
x85=88.5x_{85} = 88.5
x86=−57.5x_{86} = -57.5
x87=−1.5x_{87} = -1.5
x88=36.5x_{88} = 36.5
x89=−69.5x_{89} = -69.5
x90=40.5x_{90} = 40.5
x91=76.5x_{91} = 76.5
x92=20.5x_{92} = 20.5
x93=50.5x_{93} = 50.5
x94=−11.5x_{94} = -11.5
x95=−29.5x_{95} = -29.5
x96=−39.5x_{96} = -39.5
x97=−47.5x_{97} = -47.5
x98=−17.5x_{98} = -17.5
x99=−25.5x_{99} = -25.5
x100=24.5x_{100} = 24.5
x101=−83.5x_{101} = -83.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(pi*x).
cos⁡(0π)\cos{\left(0 \pi \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−πsin⁡(πx)=0- \pi \sin{\left(\pi x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(1, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,1]\left[0, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−π2cos⁡(πx)=0- \pi^{2} \cos{\left(\pi x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
x2=32x_{2} = \frac{3}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[12,32]\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,12]∪[32,∞)\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(πx)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\pi x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(πx)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\pi x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(pi*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(πx)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(πx)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(πx)=cos⁡(πx)\cos{\left(\pi x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}
- Sí
cos⁡(πx)=−cos⁡(πx)\cos{\left(\pi x \right)} = - \cos{\left(\pi x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(pi*x)
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