Sr Examen

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Gráfico de la función y = pi+arctg(0,029*x)-arctg(0,12*x)+arctg(5*x)+arctg(0,0158*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                /29*x\       /3*x\                             
f(x) = pi + atan|----| - atan|---| + atan(5*x) + atan(0.0158*x)
                \1000/       \ 25/                             
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \pi\right) - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)}$$
f = atan(29*x/1000) + pi - atan(3*x/25) + atan(5*x) + atan(0.0158*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \pi\right) - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi + atan(29*x/1000) - atan(3*x/25) + atan(5*x) + atan(0.0158*x).
$$\operatorname{atan}{\left(0 \cdot 0.0158 \right)} + \left(\operatorname{atan}{\left(0 \cdot 5 \right)} + \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{0 \cdot 3}{25} \right)} + \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{0 \cdot 29}{1000} \right)} + \pi\right)\right)\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \pi$$
Punto:
(0, pi)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \pi\right) - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \pi\right) - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)}\right) = 2 \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2 \pi$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi + atan(29*x/1000) - atan(3*x/25) + atan(5*x) + atan(0.0158*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \pi\right) - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \pi\right) - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \pi\right) - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)} - \operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)} - \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} + \pi$$
- No
$$\left(\left(\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} + \pi\right) - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)}\right) + \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)} = \operatorname{atan}{\left(0.0158 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{29 x}{1000} \right)} - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{25} \right)} + \operatorname{atan}{\left(5 x \right)} - \pi$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar