Sr Examen

Gráfico de la función y = pi+asin(1-x+exp(-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                /         -x\
f(x) = pi + asin\1 - x + e  /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\left(1 - x\right) + e^{- x} \right)} + \pi$$
f = asin(1 - x + exp(-x)) + pi
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{asin}{\left(\left(1 - x\right) + e^{- x} \right)} + \pi = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi + asin(1 - x + exp(-x)).
$$\pi + \operatorname{asin}{\left(\left(1 - 0\right) + e^{- 0} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \pi + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
Punto:
(0, pi + asin(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{-1 - e^{- x}}{\sqrt{1 - \left(\left(1 - x\right) + e^{- x}\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{e^{- x} + \frac{\left(1 + e^{- x}\right)^{2} \left(- x + 1 + e^{- x}\right)}{1 - \left(- x + 1 + e^{- x}\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \left(- x + 1 + e^{- x}\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{asin}{\left(\left(1 - x\right) + e^{- x} \right)} + \pi\right) = \pi - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \pi - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{asin}{\left(\left(1 - x\right) + e^{- x} \right)} + \pi\right) = \pi + \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \pi + \infty i$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi + asin(1 - x + exp(-x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\left(1 - x\right) + e^{- x} \right)} + \pi}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\left(1 - x\right) + e^{- x} \right)} + \pi}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{asin}{\left(\left(1 - x\right) + e^{- x} \right)} + \pi = \operatorname{asin}{\left(x + e^{x} + 1 \right)} + \pi$$
- No
$$\operatorname{asin}{\left(\left(1 - x\right) + e^{- x} \right)} + \pi = - \operatorname{asin}{\left(x + e^{x} + 1 \right)} - \pi$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar