Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ pi-x+sin(x)*cos(x)

Gráfico de la función y = pi-x+sin(x)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = pi - x + sin(x)*cos(x)
f(x)=(π−x)+sin⁡(x)cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\pi - x\right) + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} 
f = pi - x + sin(x)*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(π−x)+sin⁡(x)cos⁡(x)=0\left(\pi - x\right) + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=3.1415947301446x_{1} = 3.1415947301446
x2=3.1416968667002x_{2} = 3.1416968667002
x3=3.14168171275522x_{3} = 3.14168171275522
x4=3.14158216968739x_{4} = 3.14158216968739
x5=3.14169651801184x_{5} = 3.14169651801184
x6=3.14150602022148x_{6} = 3.14150602022148
x7=3.14169444929576x_{7} = 3.14169444929576
x8=3.14149916199288x_{8} = 3.14149916199288
x9=3.1415456764422x_{9} = 3.1415456764422
x10=3.14159064916914x_{10} = 3.14159064916914
x11=3.14158721497013x_{11} = 3.14158721497013
x12=3.14148895389751x_{12} = 3.14148895389751
x13=3.14160486124364x_{13} = 3.14160486124364
x14=3.14160258783412x_{14} = 3.14160258783412
x15=3.14168677025501x_{15} = 3.14168677025501
x16=3.14170728279691x_{16} = 3.14170728279691
x17=3.1416939935162x_{17} = 3.1416939935162
x18=3.14168131512068x_{18} = 3.14168131512068
x19=3.14146866393986x_{19} = 3.14146866393986
x20=3.14159073827307x_{20} = 3.14159073827307
x21=3.14151924912581x_{21} = 3.14151924912581
x22=3.14152877288257x_{22} = 3.14152877288257
x23=3.14149183101343x_{23} = 3.14149183101343
x24=3.14156754779156x_{24} = 3.14156754779156
x25=3.14156513559676x_{25} = 3.14156513559676
x26=3.14169850429822x_{26} = 3.14169850429822
x27=3.14160190435818x_{27} = 3.14160190435818
x28=3.14158161642793x_{28} = 3.14158161642793
x29=3.14158915588708x_{29} = 3.14158915588708
x30=3.14151342116947x_{30} = 3.14151342116947
x31=3.14170355703138x_{31} = 3.14170355703138
x32=3.14167509226008x_{32} = 3.14167509226008
x33=3.14151813704218x_{33} = 3.14151813704218
x34=3.14150683902389x_{34} = 3.14150683902389
x35=3.1416763078837x_{35} = 3.1416763078837
x36=3.14155149970327x_{36} = 3.14155149970327
x37=3.14167988215305x_{37} = 3.14167988215305
x38=3.14167981740688x_{38} = 3.14167981740688
x39=3.14161299492354x_{39} = 3.14161299492354
x40=3.14159598607864x_{40} = 3.14159598607864
x41=3.14170918785332x_{41} = 3.14170918785332
x42=3.14158202973043x_{42} = 3.14158202973043
x43=3.14148918847203x_{43} = 3.14148918847203
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi - x + sin(x)*cos(x).
sin⁡(0)cos⁡(0)+(π−0)\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)} + \left(\pi - 0\right)
Resultado:
f(0)=πf{\left(0 \right)} = \pi
Punto:
(0, pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)−1=0- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, pi)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4sin⁡(x)cos⁡(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((π−x)+sin⁡(x)cos⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\pi - x\right) + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((π−x)+sin⁡(x)cos⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\pi - x\right) + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi - x + sin(x)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((π−x)+sin⁡(x)cos⁡(x)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\pi - x\right) + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((π−x)+sin⁡(x)cos⁡(x)x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\pi - x\right) + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(π−x)+sin⁡(x)cos⁡(x)=x−sin⁡(x)cos⁡(x)+π\left(\pi - x\right) + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \pi
- No
(π−x)+sin⁡(x)cos⁡(x)=−x+sin⁡(x)cos⁡(x)−π\left(\pi - x\right) + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - x + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \pi
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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