Sr Examen

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cos(x)-(1/2)*cos(2*x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)-(1/2)*cos(2*x)

Gráfico de la función y = cos(x)-(1/2)*cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                cos(2*x)
f(x) = cos(x) - --------
                   2
f(x)=cos⁡(x)−cos⁡(2x)2f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} 
f = cos(x) - cos(2*x)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)−cos⁡(2x)2=0\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=i(log⁡(2)−log⁡(−3+1−234i))x_{1} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(- \sqrt{3} + 1 - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)
x2=i(log⁡(2)−log⁡(−3+1+234i))x_{2} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(- \sqrt{3} + 1 + \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)
Solución numérica
x1=29.4703957763943x_{1} = 29.4703957763943
x2=83.6269397528383x_{2} = 83.6269397528383
x3=−67.1695076194718x_{3} = -67.1695076194718
x4=−98.5854341553698x_{4} = -98.5854341553698
x5=−73.4526929266514x_{5} = -73.4526929266514
x6=−1.94553075950364x_{6} = -1.94553075950364
x7=16.9040251620351x_{7} = 16.9040251620351
x8=73.4526929266514x_{8} = 73.4526929266514
x9=−10.6208398548555x_{9} = -10.6208398548555
x10=54.6031370051126x_{10} = 54.6031370051126
x11=98.5854341553698x_{11} = 98.5854341553698
x12=−71.0605691384791x_{12} = -71.0605691384791
x13=48.3199516979331x_{13} = 48.3199516979331
x14=−79.735878233831x_{14} = -79.735878233831
x15=71.0605691384791x_{15} = 71.0605691384791
x16=−23.1872104692147x_{16} = -23.1872104692147
x17=−42.0367663907535x_{17} = -42.0367663907535
x18=89.9101250600178x_{18} = 89.9101250600178
x19=39.6446426025812x_{19} = 39.6446426025812
x20=42.0367663907535x_{20} = 42.0367663907535
x21=−48.3199516979331x_{21} = -48.3199516979331
x22=20.7950866810424x_{22} = 20.7950866810424
x23=79.735878233831x_{23} = 79.735878233831
x24=77.3437544456587x_{24} = 77.3437544456587
x25=52.2110132169403x_{25} = 52.2110132169403
x26=−130.001360691268x_{26} = -130.001360691268
x27=14.5119013738628x_{27} = 14.5119013738628
x28=−54.6031370051126x_{28} = -54.6031370051126
x29=−52.2110132169403x_{29} = -52.2110132169403
x30=64.7773838312995x_{30} = 64.7773838312995
x31=96.1933103671974x_{31} = 96.1933103671974
x32=−29.4703957763943x_{32} = -29.4703957763943
x33=60.8863223122922x_{33} = 60.8863223122922
x34=1.94553075950364x_{34} = 1.94553075950364
x35=33.3614572954016x_{35} = 33.3614572954016
x36=86.0190635410106x_{36} = 86.0190635410106
x37=8.22871606668322x_{37} = 8.22871606668322
x38=−33.3614572954016x_{38} = -33.3614572954016
x39=35.7535810835739x_{39} = 35.7535810835739
x40=−27.078271988222x_{40} = -27.078271988222
x41=4324.77702209906x_{41} = 4324.77702209906
x42=−60.8863223122922x_{42} = -60.8863223122922
x43=−86.0190635410106x_{43} = -86.0190635410106
x44=−14.5119013738628x_{44} = -14.5119013738628
x45=58.4941985241199x_{45} = 58.4941985241199
x46=−4.33765454767595x_{46} = -4.33765454767595
x47=−39.6446426025812x_{47} = -39.6446426025812
x48=−77.3437544456587x_{48} = -77.3437544456587
x49=−20.7950866810424x_{49} = -20.7950866810424
x50=92.3022488481902x_{50} = 92.3022488481902
x51=−96.1933103671974x_{51} = -96.1933103671974
x52=−89.9101250600178x_{52} = -89.9101250600178
x53=−58.4941985241199x_{53} = -58.4941985241199
x54=−83.6269397528383x_{54} = -83.6269397528383
x55=−45.9278279097607x_{55} = -45.9278279097607
x56=−35.7535810835739x_{56} = -35.7535810835739
x57=10.6208398548555x_{57} = 10.6208398548555
x58=−92.3022488481902x_{58} = -92.3022488481902
x59=−8.22871606668322x_{59} = -8.22871606668322
x60=45.9278279097607x_{60} = 45.9278279097607
x61=4.33765454767595x_{61} = 4.33765454767595
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) - cos(2*x)/2.
−cos⁡(0⋅2)2+cos⁡(0)- \frac{\cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}{2} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+sin⁡(2x)=0- \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−5π3x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}
x3=−πx_{3} = - \pi
x4=−π3x_{4} = - \frac{\pi}{3}
x5=π3x_{5} = \frac{\pi}{3}
x6=πx_{6} = \pi
x7=5π3x_{7} = \frac{5 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/2)

 -5*pi      
(-----, 3/4)
   3        

(-pi, -3/2)

 -pi       
(----, 3/4)
  3        

 pi      
(--, 3/4)
 3       

(pi, -3/2)

 5*pi      
(----, 3/4)
  3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=πx_{3} = \pi
Puntos máximos de la función:
x3=−5π3x_{3} = - \frac{5 \pi}{3}
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x3=π3x_{3} = \frac{\pi}{3}
x3=5π3x_{3} = \frac{5 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π]\left(-\infty, - \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)+2cos⁡(2x)=0- \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(18+338−2i15−338)x_{1} = - i \log{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(18+338+2i15−338)x_{2} = - i \log{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(−338+18−2i33+158)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(−338+18+2i33+158)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[atan⁡(233+151−33)+π,∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{1 - \sqrt{33}} \right)} + \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−atan⁡(215−331+33)]∪[atan⁡(215−331+33),atan⁡(233+151−33)+π]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{1 + \sqrt{33}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{1 - \sqrt{33}} \right)} + \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)−cos⁡(2x)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)−cos⁡(2x)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - cos(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)−cos⁡(2x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)−cos⁡(2x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)−cos⁡(2x)2=cos⁡(x)−cos⁡(2x)2\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
- Sí
cos⁡(x)−cos⁡(2x)2=−cos⁡(x)+cos⁡(2x)2\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = - \cos{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)-(1/2)*cos(2*x)
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