Sr Examen

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sin(x/2)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x/2)

Gráfico de la función y = sin(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\
f(x) = sin|-|
          \2/
f(x)=sin⁡(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} 
f = sin(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x2)=0\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Solución numérica
x1=−62.8318530717959x_{1} = -62.8318530717959
x2=87.9645943005142x_{2} = 87.9645943005142
x3=31.4159265358979x_{3} = 31.4159265358979
x4=−106.814150222053x_{4} = -106.814150222053
x5=−56.5486677646163x_{5} = -56.5486677646163
x6=69.1150383789755x_{6} = 69.1150383789755
x7=−37.6991118430775x_{7} = -37.6991118430775
x8=−81.6814089933346x_{8} = -81.6814089933346
x9=−226.194671058465x_{9} = -226.194671058465
x10=−12.5663706143592x_{10} = -12.5663706143592
x11=12.5663706143592x_{11} = 12.5663706143592
x12=−87.9645943005142x_{12} = -87.9645943005142
x13=−100.530964914873x_{13} = -100.530964914873
x14=−94.2477796076938x_{14} = -94.2477796076938
x15=6.28318530717959x_{15} = 6.28318530717959
x16=−69.1150383789755x_{16} = -69.1150383789755
x17=0x_{17} = 0
x18=−25.1327412287183x_{18} = -25.1327412287183
x19=−50.2654824574367x_{19} = -50.2654824574367
x20=−18.8495559215388x_{20} = -18.8495559215388
x21=18.8495559215388x_{21} = 18.8495559215388
x22=37.6991118430775x_{22} = 37.6991118430775
x23=−43.9822971502571x_{23} = -43.9822971502571
x24=−6.28318530717959x_{24} = -6.28318530717959
x25=43.9822971502571x_{25} = 43.9822971502571
x26=56.5486677646163x_{26} = 56.5486677646163
x27=25.1327412287183x_{27} = 25.1327412287183
x28=75.398223686155x_{28} = 75.398223686155
x29=81.6814089933346x_{29} = 81.6814089933346
x30=100.530964914873x_{30} = 100.530964914873
x31=−75.398223686155x_{31} = -75.398223686155
x32=−31.4159265358979x_{32} = -31.4159265358979
x33=62.8318530717959x_{33} = 62.8318530717959
x34=50.2654824574367x_{34} = 50.2654824574367
x35=94.2477796076938x_{35} = 94.2477796076938
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x/2).
sin⁡(02)\sin{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x2)2=0\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(pi, 1)

(3*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x2)4=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x2)=−sin⁡(x2)\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
sin⁡(x2)=sin⁡(x2)\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x/2)
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