Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
pi
(---, 1)
4
2
9*pi
(-----, -1)
4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi^{2}}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi^{2}}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi^{2}}{4}, \frac{9 \pi^{2}}{4}\right]$$