Sr Examen

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sin(x)-2*cos(x)+3*sin(2*x)

Gráfico de la función y = sin(x)-2*cos(x)+3*sin(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = sin(x) - 2*cos(x) + 3*sin(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \sin{\left(2 x \right)}$$
f = sin(x) - 2*cos(x) + 3*sin(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - 2*cos(x) + 3*sin(2*x).
$$\left(- 2 \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}\right) + 3 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -6, 6\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -6, 6\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \sin{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -6, 6\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -6, 6\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - 2*cos(x) + 3*sin(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \sin{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$$
- No
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 3 \sin{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)-2*cos(x)+3*sin(2*x)