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pi-x-cos(x)-sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ pi-x-cos(x)-sin(x)

Gráfico de la función y = pi-x-cos(x)-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = pi - x - cos(x) - sin(x)
f(x)=((π−x)−cos⁡(x))−sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\left(\pi - x\right) - \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} 
f = pi - x - cos(x) - sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((π−x)−cos⁡(x))−sin⁡(x)=0\left(\left(\pi - x\right) - \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=4.40032083108247x_{1} = 4.40032083108247
x2=4.40032083108296x_{2} = 4.40032083108296
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi - x - cos(x) - sin(x).
−sin⁡(0)+(−cos⁡(0)+(π−0))- \sin{\left(0 \right)} + \left(- \cos{\left(0 \right)} + \left(\pi - 0\right)\right)
Resultado:
f(0)=−1+πf{\left(0 \right)} = -1 + \pi
Punto:
(0, -1 + pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)−cos⁡(x)−1=0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi       pi 
(--, -1 + --)
 2        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((π−x)−cos⁡(x))−sin⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\pi - x\right) - \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((π−x)−cos⁡(x))−sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\pi - x\right) - \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi - x - cos(x) - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((π−x)−cos⁡(x))−sin⁡(x)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\pi - x\right) - \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(((π−x)−cos⁡(x))−sin⁡(x)x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\pi - x\right) - \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((π−x)−cos⁡(x))−sin⁡(x)=x+sin⁡(x)−cos⁡(x)+π\left(\left(\pi - x\right) - \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} = x + \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + \pi
- No
((π−x)−cos⁡(x))−sin⁡(x)=−x−sin⁡(x)+cos⁡(x)−π\left(\left(\pi - x\right) - \cos{\left(x \right)}\right) - \sin{\left(x \right)} = - x - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - \pi
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = pi-x-cos(x)-sin(x)
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