Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 5cos(pix/2+pi/4)

Gráfico de la función y = 5cos(pix/2+pi/4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /pi*x   pi\
f(x) = 5*cos|---- + --|
            \ 2     4 /
f(x)=5cos⁡(πx2+π4)f{\left(x \right)} = 5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} 
f = 5*cos((pi*x)/2 + pi/4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5cos⁡(πx2+π4)=05 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
x2=52x_{2} = \frac{5}{2}
Solución numérica
x1=100.5x_{1} = 100.5
x2=92.5x_{2} = 92.5
x3=−61.5x_{3} = -61.5
x4=20.5x_{4} = 20.5
x5=70.5x_{5} = 70.5
x6=42.5x_{6} = 42.5
x7=0.5x_{7} = 0.5
x8=28.5x_{8} = 28.5
x9=−51.5x_{9} = -51.5
x10=−5.5x_{10} = -5.5
x11=74.5x_{11} = 74.5
x12=−87.5x_{12} = -87.5
x13=52.5x_{13} = 52.5
x14=66.5x_{14} = 66.5
x15=−65.5x_{15} = -65.5
x16=−25.5x_{16} = -25.5
x17=4.5x_{17} = 4.5
x18=−3.5x_{18} = -3.5
x19=26.5x_{19} = 26.5
x20=−81.5x_{20} = -81.5
x21=−45.5x_{21} = -45.5
x22=56.5x_{22} = 56.5
x23=94.5x_{23} = 94.5
x24=−97.5x_{24} = -97.5
x25=24.5x_{25} = 24.5
x26=−19.5x_{26} = -19.5
x27=34.5x_{27} = 34.5
x28=−31.5x_{28} = -31.5
x29=−33.5x_{29} = -33.5
x30=50.5x_{30} = 50.5
x31=32.5x_{31} = 32.5
x32=10.5x_{32} = 10.5
x33=2.5x_{33} = 2.5
x34=90.5x_{34} = 90.5
x35=62.5x_{35} = 62.5
x36=−21.5x_{36} = -21.5
x37=−83.5x_{37} = -83.5
x38=−47.5x_{38} = -47.5
x39=−23.5x_{39} = -23.5
x40=−27.5x_{40} = -27.5
x41=−89.5x_{41} = -89.5
x42=36.5x_{42} = 36.5
x43=12.5x_{43} = 12.5
x44=−77.5x_{44} = -77.5
x45=86.5x_{45} = 86.5
x46=−7.5x_{46} = -7.5
x47=60.5x_{47} = 60.5
x48=−29.5x_{48} = -29.5
x49=−13.5x_{49} = -13.5
x50=80.5x_{50} = 80.5
x51=78.5x_{51} = 78.5
x52=−17.5x_{52} = -17.5
x53=64.5x_{53} = 64.5
x54=96.5x_{54} = 96.5
x55=−11.5x_{55} = -11.5
x56=−55.5x_{56} = -55.5
x57=54.5x_{57} = 54.5
x58=98.5x_{58} = 98.5
x59=−99.5x_{59} = -99.5
x60=22.5x_{60} = 22.5
x61=−57.5x_{61} = -57.5
x62=6.5x_{62} = 6.5
x63=−79.5x_{63} = -79.5
x64=−53.5x_{64} = -53.5
x65=−37.5x_{65} = -37.5
x66=84.5x_{66} = 84.5
x67=−93.5x_{67} = -93.5
x68=−15.5x_{68} = -15.5
x69=−91.5x_{69} = -91.5
x70=46.5x_{70} = 46.5
x71=−71.5x_{71} = -71.5
x72=44.5x_{72} = 44.5
x73=−49.5x_{73} = -49.5
x74=88.5x_{74} = 88.5
x75=−59.5x_{75} = -59.5
x76=−39.5x_{76} = -39.5
x77=−73.5x_{77} = -73.5
x78=82.5x_{78} = 82.5
x79=40.5x_{79} = 40.5
x80=58.5x_{80} = 58.5
x81=14.5x_{81} = 14.5
x82=−85.5x_{82} = -85.5
x83=76.5x_{83} = 76.5
x84=−63.5x_{84} = -63.5
x85=−69.5x_{85} = -69.5
x86=−67.5x_{86} = -67.5
x87=−9.5x_{87} = -9.5
x88=30.5x_{88} = 30.5
x89=18.5x_{89} = 18.5
x90=38.5x_{90} = 38.5
x91=−95.5x_{91} = -95.5
x92=−41.5x_{92} = -41.5
x93=72.5x_{93} = 72.5
x94=48.5x_{94} = 48.5
x95=−43.5x_{95} = -43.5
x96=−1.5x_{96} = -1.5
x97=−35.5x_{97} = -35.5
x98=16.5x_{98} = 16.5
x99=−75.5x_{99} = -75.5
x100=68.5x_{100} = 68.5
x101=8.5x_{101} = 8.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*cos((pi*x)/2 + pi/4).
5cos⁡(0π2+π4)5 \cos{\left(\frac{0 \pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}
Resultado:
f(0)=522f{\left(0 \right)} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, 5*sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5πsin⁡(πx2+π4)2=0- \frac{5 \pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
x2=32x_{2} = \frac{3}{2}
Signos de extremos en los puntos:
            /pi   pi\ 
(-1/2, 5*cos|-- - --|)
            \4    4 / 

            /pi   pi\ 
(3/2, -5*sin|-- + --|)
            \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]∪[32,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−12,32]\left[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−5π2cos⁡(π(x2+14))4=0- \frac{5 \pi^{2} \cos{\left(\pi \left(\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right) \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
x2=52x_{2} = \frac{5}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[12,52]\left[\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,12]∪[52,∞)\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5cos⁡(πx2+π4))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(5cos⁡(πx2+π4))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*cos((pi*x)/2 + pi/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5cos⁡(πx2+π4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5cos⁡(πx2+π4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5cos⁡(πx2+π4)=5cos⁡(πx2−π4)5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = 5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}
- No
5cos⁡(πx2+π4)=−5cos⁡(πx2−π4)5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = - 5 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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