Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
y^2+1
-
x/(x-1)
-
x/(x^2-1)
-
Expresiones idénticas
- pi/ dos - cuatro /pi*cosx+ dos *sinx
- número pi dividir por 2 menos 4 dividir por número pi multiplicar por coseno de x más 2 multiplicar por seno de x
- número pi dividir por dos menos cuatro dividir por número pi multiplicar por coseno de x más dos multiplicar por seno de x
- pi/2-4/picosx+2sinx
- pi dividir por 2-4 dividir por pi*cosx+2*sinx
-
Expresiones semejantes
- pi/2-4/pi*cosx-2*sinx
- pi/2+4/pi*cosx+2*sinx
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- pi*cos((x/2)-(pi/8))
- pi+asin(x)
- pi-asin(sqrt(-1/(-1+log(x)^2)))
- pi/4+2arcsin(1-(x/4))
- pi/2+acot(x)
- Número Pi pi
- pi*cos((x/2)-(pi/8))
- pi+asin(x)
- pi-asin(sqrt(-1/(-1+log(x)^2)))
- pi/4+2arcsin(1-(x/4))
- pi/2+acot(x)
- cosx
- cosx+1/2sin2x
- cosx-2
- cosx*(1/x)
- cosx/x
- cosx+2cos^2x-1
- sinx
- sinx-tgx
- sinx/(e^x)
- sinx-3
- sinx*sin3x
- sinx-3x
Gráfico de la función y = pi/2-4/pi*cosx+2*sinx
Solución
Ha introducido
[src]
pi 4
f(x) = -- - --*cos(x) + 2*sin(x)
2 pi
$$f{\left(x \right)} = \left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}$$
f = -4/pi*cos(x) + pi/2 + 2*sin(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{- \pi^{4} + 64 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{8 + \pi^{2}} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \pi^{4} + 64 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{8 + \pi^{2}} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 29.56544121853$$
$$x_{2} = -56.7059520909561$$
$$x_{3} = 13470.9920142667$$
$$x_{4} = -89.8150796178822$$
$$x_{5} = 98.6804795975054$$
$$x_{6} = -33.2664118532659$$
$$x_{7} = -6.44046963351941$$
$$x_{8} = 37.5418275167377$$
$$x_{9} = 79.8309236759667$$
$$x_{10} = 16.9990706041708$$
$$x_{11} = -58.3991530819842$$
$$x_{12} = -20.7000412389067$$
$$x_{13} = -88.121878626854$$
$$x_{14} = 48.4149971400687$$
$$x_{15} = 6.12590098083976$$
$$x_{16} = 43.8250128239173$$
$$x_{17} = -39.5495971604455$$
$$x_{18} = -69.2723227053153$$
$$x_{19} = -83.5318943107026$$
$$x_{20} = 50.1081981310969$$
$$x_{21} = 167.795517976481$$
$$x_{22} = 35.8486265257096$$
$$x_{23} = -8.13367062454753$$
$$x_{24} = -94.4050639340336$$
$$x_{25} = -1.85048531736795$$
$$x_{26} = -77.248709003523$$
$$x_{27} = -12.723654940699$$
$$x_{28} = 73.5477383687871$$
$$x_{29} = -75.5555080124949$$
$$x_{30} = -31.5732108622378$$
$$x_{31} = 86.1141089831463$$
$$x_{32} = 23.2822559113504$$
$$x_{33} = -100.688249241213$$
$$x_{34} = -62.9891373981357$$
$$x_{35} = 10.7158852969912$$
$$x_{36} = -52.1159677748046$$
$$x_{37} = 12.4090862880193$$
$$x_{38} = -37.8563961694173$$
$$x_{39} = -64.6823383891638$$
$$x_{40} = 54.6981824472483$$
$$x_{41} = 18.6922715951989$$
$$x_{42} = -118697.504123247$$
$$x_{43} = -81.8386933196744$$
$$x_{44} = 62.674568745456$$
$$x_{45} = -703.874038730454$$
$$x_{46} = -25.2900255550582$$
$$x_{47} = -0.157284326339827$$
$$x_{48} = 42.1318118328892$$
$$x_{49} = 56.3913834382764$$
$$x_{50} = 4.43269998981164$$
$$x_{51} = -70.9655236963434$$
$$x_{52} = -1283.620287982$$
$$x_{53} = 31.2586422095581$$
$$x_{54} = 163.205533660329$$
$$x_{55} = 100.373680588534$$
$$x_{56} = 75.2409393598152$$
$$x_{57} = -26.9832265460863$$
$$x_{58} = 87.8073099741744$$
$$x_{59} = 68.9577540526356$$
$$x_{60} = 24.9754569023785$$
$$x_{61} = -45.8327824676251$$
$$x_{62} = -96.0982649250617$$
$$x_{63} = 94.090495281354$$
$$x_{64} = 81.5241246669948$$
$$x_{65} = 60.9813677544279$$
$$x_{66} = -14.4168559317271$$
$$x_{67} = -19.0068402478786$$
$$x_{68} = -232.635140691985$$
$$x_{69} = -44.1395814765969$$
$$x_{70} = 92.3972942903258$$
$$x_{71} = 67.2645530616075$$
$$x_{72} = -50.4227667837765$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{- \pi^{4} + 64 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{8 + \pi^{2}} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \pi^{4} + 64 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{8 + \pi^{2}} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 29.56544121853$$
$$x_{2} = -56.7059520909561$$
$$x_{3} = 13470.9920142667$$
$$x_{4} = -89.8150796178822$$
$$x_{5} = 98.6804795975054$$
$$x_{6} = -33.2664118532659$$
$$x_{7} = -6.44046963351941$$
$$x_{8} = 37.5418275167377$$
$$x_{9} = 79.8309236759667$$
$$x_{10} = 16.9990706041708$$
$$x_{11} = -58.3991530819842$$
$$x_{12} = -20.7000412389067$$
$$x_{13} = -88.121878626854$$
$$x_{14} = 48.4149971400687$$
$$x_{15} = 6.12590098083976$$
$$x_{16} = 43.8250128239173$$
$$x_{17} = -39.5495971604455$$
$$x_{18} = -69.2723227053153$$
$$x_{19} = -83.5318943107026$$
$$x_{20} = 50.1081981310969$$
$$x_{21} = 167.795517976481$$
$$x_{22} = 35.8486265257096$$
$$x_{23} = -8.13367062454753$$
$$x_{24} = -94.4050639340336$$
$$x_{25} = -1.85048531736795$$
$$x_{26} = -77.248709003523$$
$$x_{27} = -12.723654940699$$
$$x_{28} = 73.5477383687871$$
$$x_{29} = -75.5555080124949$$
$$x_{30} = -31.5732108622378$$
$$x_{31} = 86.1141089831463$$
$$x_{32} = 23.2822559113504$$
$$x_{33} = -100.688249241213$$
$$x_{34} = -62.9891373981357$$
$$x_{35} = 10.7158852969912$$
$$x_{36} = -52.1159677748046$$
$$x_{37} = 12.4090862880193$$
$$x_{38} = -37.8563961694173$$
$$x_{39} = -64.6823383891638$$
$$x_{40} = 54.6981824472483$$
$$x_{41} = 18.6922715951989$$
$$x_{42} = -118697.504123247$$
$$x_{43} = -81.8386933196744$$
$$x_{44} = 62.674568745456$$
$$x_{45} = -703.874038730454$$
$$x_{46} = -25.2900255550582$$
$$x_{47} = -0.157284326339827$$
$$x_{48} = 42.1318118328892$$
$$x_{49} = 56.3913834382764$$
$$x_{50} = 4.43269998981164$$
$$x_{51} = -70.9655236963434$$
$$x_{52} = -1283.620287982$$
$$x_{53} = 31.2586422095581$$
$$x_{54} = 163.205533660329$$
$$x_{55} = 100.373680588534$$
$$x_{56} = 75.2409393598152$$
$$x_{57} = -26.9832265460863$$
$$x_{58} = 87.8073099741744$$
$$x_{59} = 68.9577540526356$$
$$x_{60} = 24.9754569023785$$
$$x_{61} = -45.8327824676251$$
$$x_{62} = -96.0982649250617$$
$$x_{63} = 94.090495281354$$
$$x_{64} = 81.5241246669948$$
$$x_{65} = 60.9813677544279$$
$$x_{66} = -14.4168559317271$$
$$x_{67} = -19.0068402478786$$
$$x_{68} = -232.635140691985$$
$$x_{69} = -44.1395814765969$$
$$x_{70} = 92.3972942903258$$
$$x_{71} = 67.2645530616075$$
$$x_{72} = -50.4227667837765$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\pi} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\pi} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / _________\\
| | / 2 ||
/ _________\ / / _________\\ | |2 - \/ 4 + pi ||
| / 2 | | | / 2 || 4*cos|2*atan|----------------||
|2 - \/ 4 + pi | | |2 - \/ 4 + pi || pi \ \ pi //
(2*atan|----------------|, 2*sin|2*atan|----------------|| + -- - -------------------------------)
\ pi / \ \ pi // 2 pi / / _________\\
| | / 2 ||
/ _________\ / / _________\\ | |2 + \/ 4 + pi ||
| / 2 | | | / 2 || 4*cos|2*atan|----------------||
|2 + \/ 4 + pi | | |2 + \/ 4 + pi || pi \ \ pi //
(2*atan|----------------|, 2*sin|2*atan|----------------|| + -- - -------------------------------)
\ pi / \ \ pi // 2 pi Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\pi}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\pi}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 - 4/pi*cos(x) + 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}$$
- No
$$\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} - \frac{\pi}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}$$
- No
$$\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} - \frac{\pi}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar