El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: (−π4cos(x)+2π)+2sin(x)=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en pi/2 - 4/pi*cos(x) + 2*sin(x). 2sin(0)+(−π4cos(0)+2π) Resultado: f(0)=−π4+2π Punto:
(0, pi/2 - 4/pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada π4sin(x)+2cos(x)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=2atan(π2−4+π2) x2=2atan(π2+4+π2) Signos de extremos en los puntos:
/ / _________\\
| | / 2 ||
/ _________\ / / _________\\ | |2 - \/ 4 + pi ||
| / 2 | | | / 2 || 4*cos|2*atan|----------------||
|2 - \/ 4 + pi | | |2 - \/ 4 + pi || pi \ \ pi //
(2*atan|----------------|, 2*sin|2*atan|----------------|| + -- - -------------------------------)
\ pi / \ \ pi // 2 pi
/ / _________\\
| | / 2 ||
/ _________\ / / _________\\ | |2 + \/ 4 + pi ||
| / 2 | | | / 2 || 4*cos|2*atan|----------------||
|2 + \/ 4 + pi | | |2 + \/ 4 + pi || pi \ \ pi //
(2*atan|----------------|, 2*sin|2*atan|----------------|| + -- - -------------------------------)
\ pi / \ \ pi // 2 pi
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=2atan(π2−4+π2) Puntos máximos de la función: x1=2atan(π2+4+π2) Decrece en los intervalos [2atan(π2−4+π2),2atan(π2+4+π2)] Crece en los intervalos (−∞,2atan(π2−4+π2)]∪[2atan(π2+4+π2),∞)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada 2(−sin(x)+π2cos(x))=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=atan(π2)
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos (−∞,atan(π2)] Convexa en los intervalos [atan(π2),∞)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim((−π4cos(x)+2π)+2sin(x))=⟨−2,2⟩+π⟨−4,4⟩+2π Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=⟨−2,2⟩+π⟨−4,4⟩+2π x→∞lim((−π4cos(x)+2π)+2sin(x))=⟨−2,2⟩+π⟨−4,4⟩+2π Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=⟨−2,2⟩+π⟨−4,4⟩+2π
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 - 4/pi*cos(x) + 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x(−π4cos(x)+2π)+2sin(x))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(x(−π4cos(x)+2π)+2sin(x))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: (−π4cos(x)+2π)+2sin(x)=−2sin(x)−π4cos(x)+2π - No (−π4cos(x)+2π)+2sin(x)=2sin(x)+π4cos(x)−2π - No es decir, función no es par ni impar