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Trazado el gráfico de la función/ pi/2-4/pi*cosx+2*sinx

Gráfico de la función y = pi/2-4/pi*cosx+2*sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       pi   4                   
f(x) = -- - --*cos(x) + 2*sin(x)
       2    pi
f(x)=(−4πcos⁡(x)+π2)+2sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} 
f = -4/pi*cos(x) + pi/2 + 2*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−4πcos⁡(x)+π2)+2sin⁡(x)=0\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(−−π4+64+16π2+4π8+π2)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{- \pi^{4} + 64 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{8 + \pi^{2}} \right)}
x2=−2atan⁡(−π4+64+16π2+4π8+π2)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{- \pi^{4} + 64 + 16 \pi^{2}} + 4 \pi}{8 + \pi^{2}} \right)}
Solución numérica
x1=29.56544121853x_{1} = 29.56544121853
x2=−56.7059520909561x_{2} = -56.7059520909561
x3=13470.9920142667x_{3} = 13470.9920142667
x4=−89.8150796178822x_{4} = -89.8150796178822
x5=98.6804795975054x_{5} = 98.6804795975054
x6=−33.2664118532659x_{6} = -33.2664118532659
x7=−6.44046963351941x_{7} = -6.44046963351941
x8=37.5418275167377x_{8} = 37.5418275167377
x9=79.8309236759667x_{9} = 79.8309236759667
x10=16.9990706041708x_{10} = 16.9990706041708
x11=−58.3991530819842x_{11} = -58.3991530819842
x12=−20.7000412389067x_{12} = -20.7000412389067
x13=−88.121878626854x_{13} = -88.121878626854
x14=48.4149971400687x_{14} = 48.4149971400687
x15=6.12590098083976x_{15} = 6.12590098083976
x16=43.8250128239173x_{16} = 43.8250128239173
x17=−39.5495971604455x_{17} = -39.5495971604455
x18=−69.2723227053153x_{18} = -69.2723227053153
x19=−83.5318943107026x_{19} = -83.5318943107026
x20=50.1081981310969x_{20} = 50.1081981310969
x21=167.795517976481x_{21} = 167.795517976481
x22=35.8486265257096x_{22} = 35.8486265257096
x23=−8.13367062454753x_{23} = -8.13367062454753
x24=−94.4050639340336x_{24} = -94.4050639340336
x25=−1.85048531736795x_{25} = -1.85048531736795
x26=−77.248709003523x_{26} = -77.248709003523
x27=−12.723654940699x_{27} = -12.723654940699
x28=73.5477383687871x_{28} = 73.5477383687871
x29=−75.5555080124949x_{29} = -75.5555080124949
x30=−31.5732108622378x_{30} = -31.5732108622378
x31=86.1141089831463x_{31} = 86.1141089831463
x32=23.2822559113504x_{32} = 23.2822559113504
x33=−100.688249241213x_{33} = -100.688249241213
x34=−62.9891373981357x_{34} = -62.9891373981357
x35=10.7158852969912x_{35} = 10.7158852969912
x36=−52.1159677748046x_{36} = -52.1159677748046
x37=12.4090862880193x_{37} = 12.4090862880193
x38=−37.8563961694173x_{38} = -37.8563961694173
x39=−64.6823383891638x_{39} = -64.6823383891638
x40=54.6981824472483x_{40} = 54.6981824472483
x41=18.6922715951989x_{41} = 18.6922715951989
x42=−118697.504123247x_{42} = -118697.504123247
x43=−81.8386933196744x_{43} = -81.8386933196744
x44=62.674568745456x_{44} = 62.674568745456
x45=−703.874038730454x_{45} = -703.874038730454
x46=−25.2900255550582x_{46} = -25.2900255550582
x47=−0.157284326339827x_{47} = -0.157284326339827
x48=42.1318118328892x_{48} = 42.1318118328892
x49=56.3913834382764x_{49} = 56.3913834382764
x50=4.43269998981164x_{50} = 4.43269998981164
x51=−70.9655236963434x_{51} = -70.9655236963434
x52=−1283.620287982x_{52} = -1283.620287982
x53=31.2586422095581x_{53} = 31.2586422095581
x54=163.205533660329x_{54} = 163.205533660329
x55=100.373680588534x_{55} = 100.373680588534
x56=75.2409393598152x_{56} = 75.2409393598152
x57=−26.9832265460863x_{57} = -26.9832265460863
x58=87.8073099741744x_{58} = 87.8073099741744
x59=68.9577540526356x_{59} = 68.9577540526356
x60=24.9754569023785x_{60} = 24.9754569023785
x61=−45.8327824676251x_{61} = -45.8327824676251
x62=−96.0982649250617x_{62} = -96.0982649250617
x63=94.090495281354x_{63} = 94.090495281354
x64=81.5241246669948x_{64} = 81.5241246669948
x65=60.9813677544279x_{65} = 60.9813677544279
x66=−14.4168559317271x_{66} = -14.4168559317271
x67=−19.0068402478786x_{67} = -19.0068402478786
x68=−232.635140691985x_{68} = -232.635140691985
x69=−44.1395814765969x_{69} = -44.1395814765969
x70=92.3972942903258x_{70} = 92.3972942903258
x71=67.2645530616075x_{71} = 67.2645530616075
x72=−50.4227667837765x_{72} = -50.4227667837765
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi/2 - 4/pi*cos(x) + 2*sin(x).
2sin⁡(0)+(−4πcos⁡(0)+π2)2 \sin{\left(0 \right)} + \left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(0 \right)} + \frac{\pi}{2}\right)
Resultado:
f(0)=−4π+π2f{\left(0 \right)} = - \frac{4}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2 - 4/pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4sin⁡(x)π+2cos⁡(x)=0\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\pi} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(2−4+π2π)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}
x2=2atan⁡(2+4+π2π)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                       /      /       _________\\ 
                                                                       |      |      /       2 || 
       /       _________\       /      /       _________\\             |      |2 - \/  4 + pi  || 
       |      /       2 |       |      |      /       2 ||        4*cos|2*atan|----------------|| 
       |2 - \/  4 + pi  |       |      |2 - \/  4 + pi  ||   pi        \      \       pi       // 
(2*atan|----------------|, 2*sin|2*atan|----------------|| + -- - -------------------------------)
       \       pi       /       \      \       pi       //   2                   pi               

                                                                       /      /       _________\\ 
                                                                       |      |      /       2 || 
       /       _________\       /      /       _________\\             |      |2 + \/  4 + pi  || 
       |      /       2 |       |      |      /       2 ||        4*cos|2*atan|----------------|| 
       |2 + \/  4 + pi  |       |      |2 + \/  4 + pi  ||   pi        \      \       pi       // 
(2*atan|----------------|, 2*sin|2*atan|----------------|| + -- - -------------------------------)
       \       pi       /       \      \       pi       //   2                   pi


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2atan⁡(2−4+π2π)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=2atan⁡(2+4+π2π)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}
Decrece en los intervalos
[2atan⁡(2−4+π2π),2atan⁡(2+4+π2π)]\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,2atan⁡(2−4+π2π)]∪[2atan⁡(2+4+π2π),∞)\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + \sqrt{4 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−sin⁡(x)+2cos⁡(x)π)=02 \left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\pi}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(2π)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,atan⁡(2π)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[atan⁡(2π),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−4πcos⁡(x)+π2)+2sin⁡(x))=⟨−2,2⟩+⟨−4,4⟩π+π2\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩+⟨−4,4⟩π+π2y = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞((−4πcos⁡(x)+π2)+2sin⁡(x))=⟨−2,2⟩+⟨−4,4⟩π+π2\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩+⟨−4,4⟩π+π2y = \left\langle -2, 2\right\rangle + \frac{\left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 - 4/pi*cos(x) + 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−4πcos⁡(x)+π2)+2sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−4πcos⁡(x)+π2)+2sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−4πcos⁡(x)+π2)+2sin⁡(x)=−2sin⁡(x)−4πcos⁡(x)+π2\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}
- No
(−4πcos⁡(x)+π2)+2sin⁡(x)=2sin⁡(x)+4πcos⁡(x)−π2\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} - \frac{\pi}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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