Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ pi-asin(sqrt(-1/(-1+log(x)^2)))

Gráfico de la función y = pi-asin(sqrt(-1/(-1+log(x)^2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                /     ______________\
                |    /     -1       |
f(x) = pi - asin|   /  ------------ |
                |  /           2    |
                \\/    -1 + log (x) /
f(x)=π−asin⁡(−1log⁡(x)2−1)f{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \right)} 
f = pi - asin(sqrt(-1/(log(x)^2 - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.367879441171442x_{1} = 0.367879441171442
x2=2.71828182845905x_{2} = 2.71828182845905
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
π−asin⁡(−1log⁡(x)2−1)=0\pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi - asin(sqrt(-1/(-1 + log(x)^2))).
π−asin⁡(−1log⁡(0)2−1)\pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(0 \right)}^{2} - 1}} \right)}
Resultado:
f(0)=πf{\left(0 \right)} = \pi
Punto:
(0, pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−1log⁡(x)2−1(1−log⁡(x)2)log⁡(x)x1+1log⁡(x)2−1(log⁡(x)2−1)2=0- \frac{\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(1 - \log{\left(x \right)}^{2}\right) \log{\left(x \right)}}{x \sqrt{1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1log⁡(x)2−1(−log⁡(x)+1−3log⁡(x)2log⁡(x)2−1+log⁡(x)2(1+1log⁡(x)2−1)(log⁡(x)2−1)2)x21+1log⁡(x)2−1(log⁡(x)2−1)=0\frac{\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(- \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)^{2}}\right)}{x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1+2x_{1} = e^{-1 + \sqrt{2}}
x2=e−2−1x_{2} = e^{- \sqrt{2} - 1}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.367879441171442x_{1} = 0.367879441171442
x2=2.71828182845905x_{2} = 2.71828182845905

lim⁡x→0.367879441171442−(−1log⁡(x)2−1(−log⁡(x)+1−3log⁡(x)2log⁡(x)2−1+log⁡(x)2(1+1log⁡(x)2−1)(log⁡(x)2−1)2)x21+1log⁡(x)2−1(log⁡(x)2−1))=−∞i\lim_{x \to 0.367879441171442^-}\left(\frac{\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(- \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)^{2}}\right)}{x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)}\right) = - \infty i
lim⁡x→0.367879441171442+(−1log⁡(x)2−1(−log⁡(x)+1−3log⁡(x)2log⁡(x)2−1+log⁡(x)2(1+1log⁡(x)2−1)(log⁡(x)2−1)2)x21+1log⁡(x)2−1(log⁡(x)2−1))=−∞i\lim_{x \to 0.367879441171442^+}\left(\frac{\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(- \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)^{2}}\right)}{x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)}\right) = - \infty i
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→2.71828182845905−(−1log⁡(x)2−1(−log⁡(x)+1−3log⁡(x)2log⁡(x)2−1+log⁡(x)2(1+1log⁡(x)2−1)(log⁡(x)2−1)2)x21+1log⁡(x)2−1(log⁡(x)2−1))=∞i\lim_{x \to 2.71828182845905^-}\left(\frac{\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(- \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)^{2}}\right)}{x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)}\right) = \infty i
lim⁡x→2.71828182845905+(−1log⁡(x)2−1(−log⁡(x)+1−3log⁡(x)2log⁡(x)2−1+log⁡(x)2(1+1log⁡(x)2−1)(log⁡(x)2−1)2)x21+1log⁡(x)2−1(log⁡(x)2−1))=−∞i\lim_{x \to 2.71828182845905^+}\left(\frac{\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(- \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}\right) \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)^{2}}\right)}{x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 1\right)}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x2=2.71828182845905x_{2} = 2.71828182845905
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.367879441171442x_{1} = 0.367879441171442
x2=2.71828182845905x_{2} = 2.71828182845905
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(π−asin⁡(−1log⁡(x)2−1))=π\lim_{x \to -\infty}\left(\pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \right)}\right) = \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=πy = \pi
lim⁡x→∞(π−asin⁡(−1log⁡(x)2−1))=π\lim_{x \to \infty}\left(\pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \right)}\right) = \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=πy = \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi - asin(sqrt(-1/(-1 + log(x)^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(π−asin⁡(−1log⁡(x)2−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(π−asin⁡(−1log⁡(x)2−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
π−asin⁡(−1log⁡(x)2−1)=π−asin⁡(−1log⁡(−x)2−1)\pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(- x \right)}^{2} - 1}} \right)}
- No
π−asin⁡(−1log⁡(x)2−1)=asin⁡(−1log⁡(−x)2−1)−π\pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2} - 1}} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\sqrt{- \frac{1}{\log{\left(- x \right)}^{2} - 1}} \right)} - \pi
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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