Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log((x+5)^5)-5*x

Gráfico de la función y = log((x+5)^5)-5*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /       5\      
f(x) = log\(x + 5) / - 5*x
$$f{\left(x \right)} = - 5 x + \log{\left(\left(x + 5\right)^{5} \right)}$$ 
f = -5*x + log((x + 5)^5)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 5 x + \log{\left(\left(x + 5\right)^{5} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -5 - W\left(- \frac{1}{e^{5}}\right)$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4.9932161886479$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((x + 5)^5) - 5*x.
$$- 0 + \log{\left(5^{5} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(3125 \right)}$$
Punto:
(0, log(3125))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$-5 + \frac{5}{x + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4$$
Signos de extremos en los puntos:
(-4, 20)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -4$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -4\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-4, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{5}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 5 x + \log{\left(\left(x + 5\right)^{5} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x + \log{\left(\left(x + 5\right)^{5} \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((x + 5)^5) - 5*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 5 x + \log{\left(\left(x + 5\right)^{5} \right)}}{x}\right) = -5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 5 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \log{\left(\left(x + 5\right)^{5} \right)}}{x}\right) = -5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 5 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 5 x + \log{\left(\left(x + 5\right)^{5} \right)} = 5 x + \log{\left(\left(5 - x\right)^{5} \right)}$$
- No
$$- 5 x + \log{\left(\left(x + 5\right)^{5} \right)} = - 5 x - \log{\left(\left(5 - x\right)^{5} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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