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Trazado el gráfico de la función/ pi/2-4/pi*cos(x)-4/pi*cos(3x)-4/pi*cos(5x)-4/pi*cos(7x)-4/pi*cos(9x)

Gráfico de la función y = pi/2-4/pi*cos(x)-4/pi*cos(3x)-4/pi*cos(5x)-4/pi*cos(7x)-4/pi*cos(9x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       pi   4           4             4             4             4          
f(x) = -- - --*cos(x) - --*cos(3*x) - --*cos(5*x) - --*cos(7*x) - --*cos(9*x)
       2    pi          pi            pi            pi            pi
f(x)=((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x)f{\left(x \right)} = \left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)} 
f = -4/pi*cos(x) + pi/2 - 4/pi*cos(3*x) - 4/pi*cos(5*x) - 4/pi*cos(7*x) - 4/pi*cos(9*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x)=0\left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−43.7334519482469x_{1} = -43.7334519482469
x2=−93.9989344056836x_{2} = -93.9989344056836
x3=−37.9479570450877x_{3} = -37.9479570450877
x4=75.1493784841448x_{4} = 75.1493784841448
x5=6.0343401051694x_{5} = 6.0343401051694
x6=−50.0166372554265x_{6} = -50.0166372554265
x7=68.8661931769653x_{7} = 68.8661931769653
x8=−6.0343401051694x_{8} = -6.0343401051694
x9=−81.9302541953448x_{9} = -81.9302541953448
x10=44.2311423522673x_{10} = 44.2311423522673
x11=119.131675634402x_{11} = 119.131675634402
x12=25.3815864307285x_{12} = 25.3815864307285
x13=50.0166372554265x_{13} = 50.0166372554265
x14=100.282119712863x_{14} = 100.282119712863
x15=88.2134395025244x_{15} = 88.2134395025244
x16=−63.080698273806x_{16} = -63.080698273806
x17=93.9989344056836x_{17} = 93.9989344056836
x18=37.9479570450877x_{18} = 37.9479570450877
x19=56.2998225626061x_{19} = 56.2998225626061
x20=0.248845202010187x_{20} = 0.248845202010187
x21=−87.715749098504x_{21} = -87.715749098504
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi/2 - 4/pi*cos(x) - 4/pi*cos(3*x) - 4/pi*cos(5*x) - 4/pi*cos(7*x) - 4/pi*cos(9*x).
((−4πcos⁡(0⋅5)+(−4πcos⁡(0⋅3)+(−4πcos⁡(0)+π2)))−4πcos⁡(0⋅7))−4πcos⁡(0⋅9)\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(0 \cdot 5 \right)} + \left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(0 \cdot 3 \right)} + \left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(0 \right)} + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(0 \cdot 7 \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(0 \cdot 9 \right)}
Resultado:
f(0)=−20π+π2f{\left(0 \right)} = - \frac{20}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2 - 20/pi)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x))=5⟨−4,4⟩π+π2\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)}\right) = \frac{5 \left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=5⟨−4,4⟩π+π2y = \frac{5 \left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞(((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x))=5⟨−4,4⟩π+π2\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)}\right) = \frac{5 \left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=5⟨−4,4⟩π+π2y = \frac{5 \left\langle -4, 4\right\rangle}{\pi} + \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 - 4/pi*cos(x) - 4/pi*cos(3*x) - 4/pi*cos(5*x) - 4/pi*cos(7*x) - 4/pi*cos(9*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x)=((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x)\left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)} = \left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)}
- Sí
((((−4πcos⁡(x)+π2)−4πcos⁡(3x))−4πcos⁡(5x))−4πcos⁡(7x))−4πcos⁡(9x)=((((4πcos⁡(x)−π2)+4πcos⁡(3x))+4πcos⁡(5x))+4πcos⁡(7x))+4πcos⁡(9x)\left(\left(\left(\left(- \frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) - \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)} = \left(\left(\left(\left(\frac{4}{\pi} \cos{\left(x \right)} - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{4}{\pi} \cos{\left(3 x \right)}\right) + \frac{4}{\pi} \cos{\left(5 x \right)}\right) + \frac{4}{\pi} \cos{\left(7 x \right)}\right) + \frac{4}{\pi} \cos{\left(9 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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