Sr Examen

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cosx+1
Trazado el gráfico de la función/ cosx+1

Gráfico de la función y = cosx+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) + 1
f(x)=cos⁡(x)+1f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1 
f = cos(x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+1=0\cos{\left(x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=−97.3893717476911x_{1} = -97.3893717476911
x2=−47.1238893275319x_{2} = -47.1238893275319
x3=53.4070746418597x_{3} = 53.4070746418597
x4=97.3893717959212x_{4} = 97.3893717959212
x5=3.14159306054457x_{5} = 3.14159306054457
x6=−3.14159295109225x_{6} = -3.14159295109225
x7=−9.4247781365785x_{7} = -9.4247781365785
x8=78.5398152766482x_{8} = 78.5398152766482
x9=21.9911485852059x_{9} = 21.9911485852059
x10=53.407075424589x_{10} = 53.407075424589
x11=−59.6902599212271x_{11} = -59.6902599212271
x12=−40.8407049008781x_{12} = -40.8407049008781
x13=59.6902606104322x_{13} = 59.6902606104322
x14=−40.8407040952604x_{14} = -40.8407040952604
x15=−9.42477752082051x_{15} = -9.42477752082051
x16=−65.9734449870253x_{16} = -65.9734449870253
x17=28.2743335663982x_{17} = 28.2743335663982
x18=−97.3893724533348x_{18} = -97.3893724533348
x19=15.7079627593774x_{19} = 15.7079627593774
x20=−1127.83176318906x_{20} = -1127.83176318906
x21=15.7079634518075x_{21} = 15.7079634518075
x22=−91.106187265474x_{22} = -91.106187265474
x23=72.2566310277176x_{23} = 72.2566310277176
x24=78.5398166181283x_{24} = 78.5398166181283
x25=78.5398168562347x_{25} = 78.5398168562347
x26=15.7079629803241x_{26} = 15.7079629803241
x27=40.8407045848602x_{27} = 40.8407045848602
x28=65.9734457529812x_{28} = 65.9734457529812
x29=3.1415922548952x_{29} = 3.1415922548952
x30=59.6902600526626x_{30} = 59.6902600526626
x31=21.9911480932338x_{31} = 21.9911480932338
x32=65.9734460390947x_{32} = 65.9734460390947
x33=−53.4070745963886x_{33} = -53.4070745963886
x34=47.1238902162437x_{34} = 47.1238902162437
x35=−28.2743340989896x_{35} = -28.2743340989896
x36=−3.14159217367683x_{36} = -3.14159217367683
x37=84.8230021335997x_{37} = 84.8230021335997
x38=47.123889410773x_{38} = 47.123889410773
x39=−72.2566308657983x_{39} = -72.2566308657983
x40=−78.5398168194507x_{40} = -78.5398168194507
x41=72.2566306985x_{41} = 72.2566306985
x42=−15.7079635641079x_{42} = -15.7079635641079
x43=−65.9734461969855x_{43} = -65.9734461969855
x44=97.389372581711x_{44} = 97.389372581711
x45=84.8230013636028x_{45} = 84.8230013636028
x46=28.2743338651796x_{46} = 28.2743338651796
x47=−65.9734453607004x_{47} = -65.9734453607004
x48=40.8407045792514x_{48} = 40.8407045792514
x49=21.9911489072506x_{49} = 21.9911489072506
x50=53.4070766553897x_{50} = 53.4070766553897
x51=−91.1061864815274x_{51} = -91.1061864815274
x52=−78.5398160472843x_{52} = -78.5398160472843
x53=−47.1238901083229x_{53} = -47.1238901083229
x54=−21.9911490521325x_{54} = -21.9911490521325
x55=−72.2566315419804x_{55} = -72.2566315419804
x56=−28.2743343914215x_{56} = -28.2743343914215
x57=−21.991148226056x_{57} = -21.991148226056
x58=65.9734452390837x_{58} = 65.9734452390837
x59=−59.6902604578012x_{59} = -59.6902604578012
x60=−53.4070745786761x_{60} = -53.4070745786761
x61=9.42477748794163x_{61} = 9.42477748794163
x62=−34.5575188899093x_{62} = -34.5575188899093
x63=−9.42477744529557x_{63} = -9.42477744529557
x64=72.2566315166773x_{64} = 72.2566315166773
x65=40.8407042062167x_{65} = 40.8407042062167
x66=−59.6902606928653x_{66} = -59.6902606928653
x67=−72.2566311847166x_{67} = -72.2566311847166
x68=−40.8407049290801x_{68} = -40.8407049290801
x69=34.5575190219169x_{69} = 34.5575190219169
x70=91.1061873718352x_{70} = 91.1061873718352
x71=34.5575195449229x_{71} = 34.5575195449229
x72=−21.9911485864417x_{72} = -21.9911485864417
x73=78.5398149750205x_{73} = 78.5398149750205
x74=−65.9734457649277x_{74} = -65.9734457649277
x75=−97.3893716284562x_{75} = -97.3893716284562
x76=91.1061865667532x_{76} = 91.1061865667532
x77=78.5398161804942x_{77} = 78.5398161804942
x78=−84.8230012511693x_{78} = -84.8230012511693
x79=−15.7079632965989x_{79} = -15.7079632965989
x80=−84.8230020565447x_{80} = -84.8230020565447
x81=−34.5575196658297x_{81} = -34.5575196658297
x82=−53.407075294995x_{82} = -53.407075294995
x83=28.2743343711514x_{83} = 28.2743343711514
x84=40.8407049800347x_{84} = 40.8407049800347
x85=59.6902599104079x_{85} = 59.6902599104079
x86=−15.707962774825x_{86} = -15.707962774825
x87=9.42477826738203x_{87} = 9.42477826738203
x88=34.5575197055812x_{88} = 34.5575197055812
x89=15.707963957033x_{89} = 15.707963957033
x90=−28.2743337069329x_{90} = -28.2743337069329
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) + 1.
cos⁡(0)+1\cos{\left(0 \right)} + 1
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)=0- \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+1=cos⁡(x)+1\cos{\left(x \right)} + 1 = \cos{\left(x \right)} + 1
- Sí
cos⁡(x)+1=−cos⁡(x)−1\cos{\left(x \right)} + 1 = - \cos{\left(x \right)} - 1
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cosx+1
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