Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{\left(3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + 4\right) \left(\frac{2 \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{6 \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 0\right)} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}\right]$$