Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^3
-
x*e^x
-
x^2-3*x+1
-
x^3/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- (tres *cos(x)^(dos)+ tres *cos(x)+ cuatro)/(cos(x)^(dos)+cos(x)+ uno)
- (3 multiplicar por coseno de (x) en el grado (2) más 3 multiplicar por coseno de (x) más 4) dividir por ( coseno de (x) en el grado (2) más coseno de (x) más 1)
- (tres multiplicar por coseno de (x) en el grado (dos) más tres multiplicar por coseno de (x) más cuatro) dividir por ( coseno de (x) en el grado (dos) más coseno de (x) más uno)
- (3*cos(x)(2)+3*cos(x)+4)/(cos(x)(2)+cos(x)+1)
- 3*cosx2+3*cosx+4/cosx2+cosx+1
- (3cos(x)^(2)+3cos(x)+4)/(cos(x)^(2)+cos(x)+1)
- (3cos(x)(2)+3cos(x)+4)/(cos(x)(2)+cos(x)+1)
- 3cosx2+3cosx+4/cosx2+cosx+1
- 3cosx^2+3cosx+4/cosx^2+cosx+1
- (3*cos(x)^(2)+3*cos(x)+4) dividir por (cos(x)^(2)+cos(x)+1)
-
Expresiones semejantes
- (3*cos(x)^(2)+3*cos(x)+4)/(cos(x)^(2)-cos(x)+1)
- (3*cos(x)^(2)+3*cos(x)-4)/(cos(x)^(2)+cos(x)+1)
- (3*cos(x)^(2)+3*cos(x)+4)/(cos(x)^(2)+cos(x)-1)
- (3*cos(x)^(2)-3*cos(x)+4)/(cos(x)^(2)+cos(x)+1)
- (3*cosx^(2)+3*cosx+4)/(cosx^(2)+cosx+1)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)*cos(2x)
- cos(x)+1/2*sin(2x)
- cos(z)
- cos(x)*cos(x)
- cos(x)^2-sin(x)
- Coseno cos
- cos(x)*cos(2x)
- cos(x)+1/2*sin(2x)
- cos(z)
- cos(x)*cos(x)
- cos(x)^2-sin(x)
- Coseno cos
- cos(x)*cos(2x)
- cos(x)+1/2*sin(2x)
- cos(z)
- cos(x)*cos(x)
- cos(x)^2-sin(x)
- Coseno cos
- cos(x)*cos(2x)
- cos(x)+1/2*sin(2x)
- cos(z)
- cos(x)*cos(x)
- cos(x)^2-sin(x)
Gráfico de la función y = (3*cos(x)^(2)+3*cos(x)+4)/(cos(x)^(2)+cos(x)+1)
Solución
Ha introducido
[src]
2
3*cos (x) + 3*cos(x) + 4
f(x) = ------------------------
2
cos (x) + cos(x) + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}$$
f = (3*cos(x)^2 + 3*cos(x) + 4)/(cos(x)^2 + cos(x) + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4\right)}{\left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4\right)}{\left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 10/3)
-2*pi (-----, 13/3) 3
2*pi (----, 13/3) 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + 4\right) \left(\frac{2 \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{6 \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 0\right)} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + 4\right) \left(\frac{2 \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{6 \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 0\right)} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 4$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}\right) = 4$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 4$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*cos(x)^2 + 3*cos(x) + 4)/(cos(x)^2 + cos(x) + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{x \left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{x \left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{x \left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{x \left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = \frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}$$
- Sí
$$\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = - \frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = \frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}$$
- Sí
$$\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = - \frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}$$
- No
es decir, función
es
par