Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (3*cos(x)^(2)+3*cos(x)+4)/(cos(x)^(2)+cos(x)+1)

Gráfico de la función y = (3*cos(x)^(2)+3*cos(x)+4)/(cos(x)^(2)+cos(x)+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2                  
       3*cos (x) + 3*cos(x) + 4
f(x) = ------------------------
            2                  
         cos (x) + cos(x) + 1
f(x)=(3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1f{\left(x \right)} = \frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} 
f = (3*cos(x)^2 + 3*cos(x) + 4)/(cos(x)^2 + cos(x) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101035
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1=0\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*cos(x)^2 + 3*cos(x) + 4)/(cos(x)^2 + cos(x) + 1).
4+(3cos⁡2(0)+3cos⁡(0))1+(cos⁡2(0)+cos⁡(0))\frac{4 + \left(3 \cos^{2}{\left(0 \right)} + 3 \cos{\left(0 \right)}\right)}{1 + \left(\cos^{2}{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right)}
Resultado:
f(0)=103f{\left(0 \right)} = \frac{10}{3}
Punto:
(0, 10/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(x)cos⁡(x)−3sin⁡(x)(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1+(2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x))((3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4)((cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1)2=0\frac{- 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} + \frac{\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4\right)}{\left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=2π3x_{3} = \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 10/3)

 -2*pi       
(-----, 13/3)
   3         

 2*pi       
(----, 13/3)
  3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2π3]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(3(cos⁡(x)+1)cos⁡(x)+4)(2(2cos⁡(x)+1)2sin⁡2(x)cos⁡2(x)+cos⁡(x)+1−2sin⁡2(x)+2cos⁡2(x)+cos⁡(x))cos⁡2(x)+cos⁡(x)+1−6(2cos⁡(x)+1)2sin⁡2(x)cos⁡2(x)+cos⁡(x)+1+6sin⁡2(x)−6cos⁡2(x)−3cos⁡(x)cos⁡2(x)+cos⁡(x)+1=0\frac{\frac{\left(3 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + 4\right) \left(\frac{2 \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{6 \left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 6 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=2atan⁡(CRootOf⁡(x6−3x4−45x2−9,0))x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 0\right)} \right)}
x4=2atan⁡(CRootOf⁡(x6−3x4−45x2−9,1))x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(CRootOf⁡(x6−3x4−45x2−9,1)),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,2atan⁡(CRootOf⁡(x6−3x4−45x2−9,1))]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 3 x^{4} - 45 x^{2} - 9, 1\right)} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1)=4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=4y = 4
lim⁡x→∞((3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1)=4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=4y = 4
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*cos(x)^2 + 3*cos(x) + 4)/(cos(x)^2 + cos(x) + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4x((cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{x \left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4x((cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{x \left(\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1=(3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = \frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}
- Sí
(3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1=−(3cos⁡2(x)+3cos⁡(x))+4(cos⁡2(x)+cos⁡(x))+1\frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1} = - \frac{\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) + 4}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 1}
- No
es decir, función
es
par
    © Sr Examen – Калькулятор