Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x)+(1/2)

Gráfico de la función y = cos(x)+(1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x) + 1/2
f(x)=cos⁡(x)+12f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2} 
f = cos(x) + 1/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+12=0\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−16.7551608191456x_{1} = -16.7551608191456
x2=−54.4542726622231x_{2} = -54.4542726622231
x3=85.870199198121x_{3} = 85.870199198121
x4=41.8879020478639x_{4} = 41.8879020478639
x5=−23.0383461263252x_{5} = -23.0383461263252
x6=73.3038285837618x_{6} = 73.3038285837618
x7=14.6607657167524x_{7} = 14.6607657167524
x8=−58.6430628670095x_{8} = -58.6430628670095
x9=67.0206432765823x_{9} = 67.0206432765823
x10=−41.8879020478639x_{10} = -41.8879020478639
x11=117.286125734019x_{11} = 117.286125734019
x12=83.7758040957278x_{12} = 83.7758040957278
x13=−8.37758040957278x_{13} = -8.37758040957278
x14=33.5103216382911x_{14} = 33.5103216382911
x15=8.37758040957278x_{15} = 8.37758040957278
x16=−27.2271363311115x_{16} = -27.2271363311115
x17=79.5870138909414x_{17} = 79.5870138909414
x18=−77.4926187885482x_{18} = -77.4926187885482
x19=−33.5103216382911x_{19} = -33.5103216382911
x20=−90.0589894029074x_{20} = -90.0589894029074
x21=−85.870199198121x_{21} = -85.870199198121
x22=−71.2094334813686x_{22} = -71.2094334813686
x23=416.784625376246x_{23} = 416.784625376246
x24=35.6047167406843x_{24} = 35.6047167406843
x25=29.3215314335047x_{25} = 29.3215314335047
x26=27.2271363311115x_{26} = 27.2271363311115
x27=48.1710873550435x_{27} = 48.1710873550435
x28=−29.3215314335047x_{28} = -29.3215314335047
x29=630.412925820352x_{29} = 630.412925820352
x30=92.1533845053006x_{30} = 92.1533845053006
x31=−98.4365698124802x_{31} = -98.4365698124802
x32=−10.471975511966x_{32} = -10.471975511966
x33=64.9262481741891x_{33} = 64.9262481741891
x34=10.471975511966x_{34} = 10.471975511966
x35=−20.943951023932x_{35} = -20.943951023932
x36=−35.6047167406843x_{36} = -35.6047167406843
x37=58.6430628670095x_{37} = 58.6430628670095
x38=52.3598775598299x_{38} = 52.3598775598299
x39=46.0766922526503x_{39} = 46.0766922526503
x40=−48.1710873550435x_{40} = -48.1710873550435
x41=−14.6607657167524x_{41} = -14.6607657167524
x42=−4.18879020478639x_{42} = -4.18879020478639
x43=−39.7935069454707x_{43} = -39.7935069454707
x44=−83.7758040957278x_{44} = -83.7758040957278
x45=54.4542726622231x_{45} = 54.4542726622231
x46=2.0943951023932x_{46} = 2.0943951023932
x47=−64.9262481741891x_{47} = -64.9262481741891
x48=−46.0766922526503x_{48} = -46.0766922526503
x49=−2.0943951023932x_{49} = -2.0943951023932
x50=39.7935069454707x_{50} = 39.7935069454707
x51=77.4926187885482x_{51} = 77.4926187885482
x52=−79.5870138909414x_{52} = -79.5870138909414
x53=98.4365698124802x_{53} = 98.4365698124802
x54=−73.3038285837618x_{54} = -73.3038285837618
x55=90.0589894029074x_{55} = 90.0589894029074
x56=71.2094334813686x_{56} = 71.2094334813686
x57=20.943951023932x_{57} = 20.943951023932
x58=23.0383461263252x_{58} = 23.0383461263252
x59=−92.1533845053006x_{59} = -92.1533845053006
x60=−1623.15620435473x_{60} = -1623.15620435473
x61=16.7551608191456x_{61} = 16.7551608191456
x62=96.342174710087x_{62} = 96.342174710087
x63=−52.3598775598299x_{63} = -52.3598775598299
x64=60.7374579694027x_{64} = 60.7374579694027
x65=−60.7374579694027x_{65} = -60.7374579694027
x66=−67.0206432765823x_{66} = -67.0206432765823
x67=−96.342174710087x_{67} = -96.342174710087
x68=4.18879020478639x_{68} = 4.18879020478639
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) + 1/2.
12+cos⁡(0)\frac{1}{2} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}
Punto:
(0, 3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3/2)

(pi, -1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x)=0- \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+12)=⟨−12,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,32⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+12)=⟨−12,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,32⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + 1/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+12x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+12x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+12=cos⁡(x)+12\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2} = \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}
- Sí
cos⁡(x)+12=−cos⁡(x)−12\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2} = - \cos{\left(x \right)} - \frac{1}{2}
- No
es decir, función
es
par
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