Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x+1/2)-x^3

Gráfico de la función y = cos(x+1/2)-x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                       3
f(x) = cos(x + 1/2) - x
$$f{\left(x \right)} = - x^{3} + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)}$$ 
f = -x^3 + cos(x + 1/2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- x^{3} + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0.707997955438123$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x + 1/2) - x^3.
$$- 0^{3} + \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Punto:
(0, cos(1/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 3 x^{2} - \sin{\left(x + \frac{1}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (6 x + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.156955852504648$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.156955852504648\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-0.156955852504648, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x + 1/2) - x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- x^{3} + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)} = x^{3} + \cos{\left(x - \frac{1}{2} \right)}$$
- No
$$- x^{3} + \cos{\left(x + \frac{1}{2} \right)} = - x^{3} - \cos{\left(x - \frac{1}{2} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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