Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(cos(x)+1/2)

Gráfico de la función y = 1/(cos(x)+1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1      
f(x) = ------------
       cos(x) + 1/2
f(x)=1cos⁡(x)+12f{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}} 
f = 1/(cos(x) + 1/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2.0943951023932x_{1} = 2.0943951023932
x2=4.18879020478639x_{2} = 4.18879020478639
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1cos⁡(x)+12=0\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(cos(x) + 1/2).
112+cos⁡(0)\frac{1}{\frac{1}{2} + \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=23f{\left(0 \right)} = \frac{2}{3}
Punto:
(0, 2/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)(cos⁡(x)+12)2=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2/3)

(pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(cos⁡(x)+4sin⁡2(x)2cos⁡(x)+1)(2cos⁡(x)+1)2=0\frac{4 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)} + 1}\right)}{\left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2.0943951023932x_{1} = 2.0943951023932
x2=4.18879020478639x_{2} = 4.18879020478639
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1cos⁡(x)+12=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞1cos⁡(x)+12=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(cos(x) + 1/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1x(cos⁡(x)+12))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1x(cos⁡(x)+12))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1cos⁡(x)+12=1cos⁡(x)+12\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}
- Sí
1cos⁡(x)+12=−1cos⁡(x)+12\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}
- No
es decir, función
es
par
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