Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=cos(x)+1/2sin(2x)

Gráfico de la función y = y=cos(x)+1/2sin(2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                sin(2*x)
f(x) = cos(x) + --------
                   2
f(x)=sin⁡(2x)2+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} 
f = sin(2*x)/2 + cos(x)
Gráfico de la función
0-250-225-200-175-150-125-100-75-50-25252.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x)2+cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=−95.8185821748531x_{1} = -95.8185821748531
x2=−45.553042714615x_{2} = -45.553042714615
x3=−7.8541073681749x_{3} = -7.8541073681749
x4=−86.3937979737193x_{4} = -86.3937979737193
x5=1393.29636850171x_{5} = 1393.29636850171
x6=−42.4115008234622x_{6} = -42.4115008234622
x7=89.5353906273091x_{7} = 89.5353906273091
x8=−7.85396934854081x_{8} = -7.85396934854081
x9=−51.836262485438x_{9} = -51.836262485438
x10=14.1371669411541x_{10} = 14.1371669411541
x11=−64.4025511842224x_{11} = -64.4025511842224
x12=−17.2787595947439x_{12} = -17.2787595947439
x13=80.1107065596659x_{13} = 80.1107065596659
x14=−48.6946861306418x_{14} = -48.6946861306418
x15=−67.5442420521806x_{15} = -67.5442420521806
x16=−45.5529627112364x_{16} = -45.5529627112364
x17=−80.1106126665397x_{17} = -80.1106126665397
x18=1.5707963267949x_{18} = 1.5707963267949
x19=29.8450277989543x_{19} = 29.8450277989543
x20=−58.1194274499719x_{20} = -58.1194274499719
x21=−4.71238898038469x_{21} = -4.71238898038469
x22=−39.2700111445703x_{22} = -39.2700111445703
x23=−95.8185602777545x_{23} = -95.8185602777545
x24=20.4203522483337x_{24} = 20.4203522483337
x25=−58.119532055033x_{25} = -58.119532055033
x26=51.8362787842316x_{26} = 51.8362787842316
x27=86.3938908510206x_{27} = 86.3938908510206
x28=45.553093477052x_{28} = 45.553093477052
x29=80.1106034946956x_{29} = 80.1106034946956
x30=26.7035375555132x_{30} = 26.7035375555132
x31=67.5443499931316x_{31} = 67.5443499931316
x32=−83.2520989260588x_{32} = -83.2520989260588
x33=95.8185759344887x_{33} = 95.8185759344887
x34=−45.5531406161696x_{34} = -45.5531406161696
x35=86.3937626449816x_{35} = 86.3937626449816
x36=−23.5619449019235x_{36} = -23.5619449019235
x37=42.4114614973024x_{37} = 42.4114614973024
x38=−14.1372535946994x_{38} = -14.1372535946994
x39=58.1194640914112x_{39} = 58.1194640914112
x40=23.5620496503301x_{40} = 23.5620496503301
x41=−51.8362552464215x_{41} = -51.8362552464215
x42=32.9867228626928x_{42} = 32.9867228626928
x43=7.85398163397448x_{43} = 7.85398163397448
x44=76.9690200129499x_{44} = 76.9690200129499
x45=−29.845130209103x_{45} = -29.845130209103
x46=−1.57067615583836x_{46} = -1.57067615583836
x47=73.827311651389x_{47} = 73.827311651389
x48=36.1283177986942x_{48} = 36.1283177986942
x49=70.6858347057703x_{49} = 70.6858347057703
x50=−36.1283155162826x_{50} = -36.1283155162826
x51=−92.6769832808989x_{51} = -92.6769832808989
x52=−83.2523114345838x_{52} = -83.2523114345838
x53=−14.1371257126071x_{53} = -14.1371257126071
x54=4.71228918668806x_{54} = 4.71228918668806
x55=−1.5708395883501x_{55} = -1.5708395883501
x56=73.827477322712x_{56} = 73.827477322712
x57=42.4116084929189x_{57} = 42.4116084929189
x58=−73.8274273593601x_{58} = -73.8274273593601
x59=4.71247207702943x_{59} = 4.71247207702943
x60=64.4026493985908x_{60} = 64.4026493985908
x61=−89.535441589746x_{61} = -89.535441589746
x62=92.6768899714075x_{62} = 92.6768899714075
x63=−61.261056745001x_{63} = -61.261056745001
x64=48.6945895587878x_{64} = 48.6945895587878
x65=29.8451758719219x_{65} = 29.8451758719219
x66=−20.4202507419375x_{66} = -20.4202507419375
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x) + sin(2*x)/2.
sin⁡(0⋅2)2+cos⁡(0)\frac{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{2} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+cos⁡(2x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=5π6x_{3} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 0)
  2      

         ___ 
 pi  3*\/ 3  
(--, -------)
 6      4    

            ___ 
 5*pi  -3*\/ 3  
(----, --------)
  6       4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π6,5π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2sin⁡(2x)+cos⁡(x))=0- (2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−ilog⁡(−154−i4)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}
x4=−ilog⁡(154−i4)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[−atan⁡(1515),π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)2+cos⁡(x))=⟨−32,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)2+cos⁡(x))=⟨−32,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + sin(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x)2+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x)2+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x)2+cos⁡(x)=−sin⁡(2x)2+cos⁡(x)\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(2x)2+cos⁡(x)=sin⁡(2x)2−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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