Sr Examen

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2*cos(x)+1
Trazado el gráfico de la función/ 2*cos(x)+1

Gráfico de la función y = 2*cos(x)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(x) + 1
f(x)=2cos⁡(x)+1f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} + 1 
f = 2*cos(x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(x)+1=02 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Solución numérica
x1=16.7551608191456x_{1} = 16.7551608191456
x2=−77.4926187885482x_{2} = -77.4926187885482
x3=−14.6607657167524x_{3} = -14.6607657167524
x4=−85.870199198121x_{4} = -85.870199198121
x5=46.0766922526503x_{5} = 46.0766922526503
x6=416.784625376246x_{6} = 416.784625376246
x7=−4.18879020478639x_{7} = -4.18879020478639
x8=96.342174710087x_{8} = 96.342174710087
x9=29.3215314335047x_{9} = 29.3215314335047
x10=−71.2094334813686x_{10} = -71.2094334813686
x11=−2.0943951023932x_{11} = -2.0943951023932
x12=73.3038285837618x_{12} = 73.3038285837618
x13=−1623.15620435473x_{13} = -1623.15620435473
x14=64.9262481741891x_{14} = 64.9262481741891
x15=−96.342174710087x_{15} = -96.342174710087
x16=41.8879020478639x_{16} = 41.8879020478639
x17=39.7935069454707x_{17} = 39.7935069454707
x18=−92.1533845053006x_{18} = -92.1533845053006
x19=27.2271363311115x_{19} = 27.2271363311115
x20=−29.3215314335047x_{20} = -29.3215314335047
x21=20.943951023932x_{21} = 20.943951023932
x22=54.4542726622231x_{22} = 54.4542726622231
x23=−73.3038285837618x_{23} = -73.3038285837618
x24=2.0943951023932x_{24} = 2.0943951023932
x25=10.471975511966x_{25} = 10.471975511966
x26=60.7374579694027x_{26} = 60.7374579694027
x27=−39.7935069454707x_{27} = -39.7935069454707
x28=−46.0766922526503x_{28} = -46.0766922526503
x29=−64.9262481741891x_{29} = -64.9262481741891
x30=−27.2271363311115x_{30} = -27.2271363311115
x31=−90.0589894029074x_{31} = -90.0589894029074
x32=−52.3598775598299x_{32} = -52.3598775598299
x33=48.1710873550435x_{33} = 48.1710873550435
x34=−41.8879020478639x_{34} = -41.8879020478639
x35=67.0206432765823x_{35} = 67.0206432765823
x36=71.2094334813686x_{36} = 71.2094334813686
x37=−79.5870138909414x_{37} = -79.5870138909414
x38=−58.6430628670095x_{38} = -58.6430628670095
x39=58.6430628670095x_{39} = 58.6430628670095
x40=90.0589894029074x_{40} = 90.0589894029074
x41=85.870199198121x_{41} = 85.870199198121
x42=77.4926187885482x_{42} = 77.4926187885482
x43=8.37758040957278x_{43} = 8.37758040957278
x44=−33.5103216382911x_{44} = -33.5103216382911
x45=35.6047167406843x_{45} = 35.6047167406843
x46=23.0383461263252x_{46} = 23.0383461263252
x47=−98.4365698124802x_{47} = -98.4365698124802
x48=−23.0383461263252x_{48} = -23.0383461263252
x49=−83.7758040957278x_{49} = -83.7758040957278
x50=−35.6047167406843x_{50} = -35.6047167406843
x51=630.412925820352x_{51} = 630.412925820352
x52=−16.7551608191456x_{52} = -16.7551608191456
x53=92.1533845053006x_{53} = 92.1533845053006
x54=4.18879020478639x_{54} = 4.18879020478639
x55=83.7758040957278x_{55} = 83.7758040957278
x56=14.6607657167524x_{56} = 14.6607657167524
x57=−67.0206432765823x_{57} = -67.0206432765823
x58=−54.4542726622231x_{58} = -54.4542726622231
x59=33.5103216382911x_{59} = 33.5103216382911
x60=−8.37758040957278x_{60} = -8.37758040957278
x61=117.286125734019x_{61} = 117.286125734019
x62=−48.1710873550435x_{62} = -48.1710873550435
x63=52.3598775598299x_{63} = 52.3598775598299
x64=79.5870138909414x_{64} = 79.5870138909414
x65=−10.471975511966x_{65} = -10.471975511966
x66=−20.943951023932x_{66} = -20.943951023932
x67=98.4365698124802x_{67} = 98.4365698124802
x68=−60.7374579694027x_{68} = -60.7374579694027
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(x) + 1.
1+2cos⁡(0)1 + 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)

(pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2cos⁡(x)=0- 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)+1)=⟨−1,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)+1)=⟨−1,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,3⟩y = \left\langle -1, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(x)+1=2cos⁡(x)+12 \cos{\left(x \right)} + 1 = 2 \cos{\left(x \right)} + 1
- Sí
2cos⁡(x)+1=−2cos⁡(x)−12 \cos{\left(x \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(x \right)} - 1
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*cos(x)+1
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