Sr Examen

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2*cos(x)-1
Trazado el gráfico de la función/ 2*cos(x)-1

Gráfico de la función y = 2*cos(x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(x) - 1
f(x)=2cos⁡(x)−1f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} - 1 
f = 2*cos(x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(x)−1=02 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=86.9173967493176x_{1} = 86.9173967493176
x2=45.0294947014537x_{2} = 45.0294947014537
x3=11.5191730631626x_{3} = 11.5191730631626
x4=80.634211442138x_{4} = 80.634211442138
x5=82.7286065445312x_{5} = 82.7286065445312
x6=38.7463093942741x_{6} = 38.7463093942741
x7=−63.8790506229925x_{7} = -63.8790506229925
x8=−26.1799387799149x_{8} = -26.1799387799149
x9=−61.7846555205993x_{9} = -61.7846555205993
x10=63.8790506229925x_{10} = 63.8790506229925
x11=−7.33038285837618x_{11} = -7.33038285837618
x12=−45.0294947014537x_{12} = -45.0294947014537
x13=74.3510261349584x_{13} = 74.3510261349584
x14=51.3126800086333x_{14} = 51.3126800086333
x15=−13.6135681655558x_{15} = -13.6135681655558
x16=42.9350995990605x_{16} = 42.9350995990605
x17=24.0855436775217x_{17} = 24.0855436775217
x18=−86.9173967493176x_{18} = -86.9173967493176
x19=−5.23598775598299x_{19} = -5.23598775598299
x20=−32.4631240870945x_{20} = -32.4631240870945
x21=32.4631240870945x_{21} = 32.4631240870945
x22=−11.5191730631626x_{22} = -11.5191730631626
x23=93.2005820564972x_{23} = 93.2005820564972
x24=−99.4837673636768x_{24} = -99.4837673636768
x25=1.0471975511966x_{25} = 1.0471975511966
x26=−82.7286065445312x_{26} = -82.7286065445312
x27=68.0678408277789x_{27} = 68.0678408277789
x28=55.5014702134197x_{28} = 55.5014702134197
x29=−74.3510261349584x_{29} = -74.3510261349584
x30=−51.3126800086333x_{30} = -51.3126800086333
x31=99.4837673636768x_{31} = 99.4837673636768
x32=57.5958653158129x_{32} = 57.5958653158129
x33=−93.2005820564972x_{33} = -93.2005820564972
x34=−80.634211442138x_{34} = -80.634211442138
x35=1651.43053823704x_{35} = 1651.43053823704
x36=49.2182849062401x_{36} = 49.2182849062401
x37=13.6135681655558x_{37} = 13.6135681655558
x38=−57.5958653158129x_{38} = -57.5958653158129
x39=36.6519142918809x_{39} = 36.6519142918809
x40=30.3687289847013x_{40} = 30.3687289847013
x41=−76.4454212373516x_{41} = -76.4454212373516
x42=7.33038285837618x_{42} = 7.33038285837618
x43=−19.8967534727354x_{43} = -19.8967534727354
x44=−359.188760060433x_{44} = -359.188760060433
x45=−24.0855436775217x_{45} = -24.0855436775217
x46=5.23598775598299x_{46} = 5.23598775598299
x47=−30.3687289847013x_{47} = -30.3687289847013
x48=−68.0678408277789x_{48} = -68.0678408277789
x49=89.0117918517108x_{49} = 89.0117918517108
x50=26.1799387799149x_{50} = 26.1799387799149
x51=−55.5014702134197x_{51} = -55.5014702134197
x52=−70.162235930172x_{52} = -70.162235930172
x53=−95.2949771588904x_{53} = -95.2949771588904
x54=76.4454212373516x_{54} = 76.4454212373516
x55=61.7846555205993x_{55} = 61.7846555205993
x56=−49.2182849062401x_{56} = -49.2182849062401
x57=17.8023583703422x_{57} = 17.8023583703422
x58=−1.0471975511966x_{58} = -1.0471975511966
x59=−89.0117918517108x_{59} = -89.0117918517108
x60=−42.9350995990605x_{60} = -42.9350995990605
x61=−17.8023583703422x_{61} = -17.8023583703422
x62=−225.147473507269x_{62} = -225.147473507269
x63=70.162235930172x_{63} = 70.162235930172
x64=95.2949771588904x_{64} = 95.2949771588904
x65=19.8967534727354x_{65} = 19.8967534727354
x66=−36.6519142918809x_{66} = -36.6519142918809
x67=−38.7463093942741x_{67} = -38.7463093942741
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(x) - 1.
−1+2cos⁡(0)-1 + 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2cos⁡(x)=0- 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(x)−1=2cos⁡(x)−12 \cos{\left(x \right)} - 1 = 2 \cos{\left(x \right)} - 1
- Sí
2cos⁡(x)−1=1−2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 1 - 2 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*cos(x)-1
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