Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2*cos(x))-1

Gráfico de la función y = sqrt(2*cos(x))-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         __________    
f(x) = \/ 2*cos(x)  - 1
f(x)=2cos⁡(x)−1f{\left(x \right)} = \sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1 
f = sqrt(2*cos(x)) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(x)−1=0\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=45.0294947014537x_{1} = 45.0294947014537
x2=−13.6135681655558x_{2} = -13.6135681655558
x3=7.33038285837618x_{3} = 7.33038285837618
x4=−95.2949771588904x_{4} = -95.2949771588904
x5=−99.4837673636768x_{5} = -99.4837673636768
x6=−57.5958653158129x_{6} = -57.5958653158129
x7=−36.6519142918809x_{7} = -36.6519142918809
x8=70.162235930172x_{8} = 70.162235930172
x9=76.4454212373516x_{9} = 76.4454212373516
x10=13.6135681655558x_{10} = 13.6135681655558
x11=−1.0471975511966x_{11} = -1.0471975511966
x12=63.8790506229925x_{12} = 63.8790506229925
x13=−24.0855436775217x_{13} = -24.0855436775217
x14=−93.2005820564972x_{14} = -93.2005820564972
x15=−32.4631240870945x_{15} = -32.4631240870945
x16=−42.9350995990605x_{16} = -42.9350995990605
x17=−63.8790506229925x_{17} = -63.8790506229925
x18=49.2182849062401x_{18} = 49.2182849062401
x19=−51.3126800086333x_{19} = -51.3126800086333
x20=80.634211442138x_{20} = 80.634211442138
x21=−19.8967534727354x_{21} = -19.8967534727354
x22=1.0471975511966x_{22} = 1.0471975511966
x23=17.8023583703422x_{23} = 17.8023583703422
x24=−86.9173967493176x_{24} = -86.9173967493176
x25=−45.0294947014537x_{25} = -45.0294947014537
x26=−38.7463093942741x_{26} = -38.7463093942741
x27=95.2949771588904x_{27} = 95.2949771588904
x28=89.0117918517108x_{28} = 89.0117918517108
x29=−49.2182849062401x_{29} = -49.2182849062401
x30=−80.634211442138x_{30} = -80.634211442138
x31=86.9173967493176x_{31} = 86.9173967493176
x32=26.1799387799149x_{32} = 26.1799387799149
x33=42.9350995990605x_{33} = 42.9350995990605
x34=55.5014702134197x_{34} = 55.5014702134197
x35=57.5958653158129x_{35} = 57.5958653158129
x36=−70.162235930172x_{36} = -70.162235930172
x37=51.3126800086333x_{37} = 51.3126800086333
x38=−68.0678408277789x_{38} = -68.0678408277789
x39=38.7463093942741x_{39} = 38.7463093942741
x40=−5.23598775598299x_{40} = -5.23598775598299
x41=−76.4454212373516x_{41} = -76.4454212373516
x42=−74.3510261349584x_{42} = -74.3510261349584
x43=−61.7846555205993x_{43} = -61.7846555205993
x44=99.4837673636768x_{44} = 99.4837673636768
x45=−9275.02871094827x_{45} = -9275.02871094827
x46=24.0855436775217x_{46} = 24.0855436775217
x47=−7.33038285837618x_{47} = -7.33038285837618
x48=32.4631240870945x_{48} = 32.4631240870945
x49=19.8967534727354x_{49} = 19.8967534727354
x50=74.3510261349584x_{50} = 74.3510261349584
x51=−30.3687289847013x_{51} = -30.3687289847013
x52=61.7846555205993x_{52} = 61.7846555205993
x53=−26.1799387799149x_{53} = -26.1799387799149
x54=93.2005820564972x_{54} = 93.2005820564972
x55=36.6519142918809x_{55} = 36.6519142918809
x56=−82.7286065445312x_{56} = -82.7286065445312
x57=−89.0117918517108x_{57} = -89.0117918517108
x58=−17.8023583703422x_{58} = -17.8023583703422
x59=30.3687289847013x_{59} = 30.3687289847013
x60=68.0678408277789x_{60} = 68.0678408277789
x61=82.7286065445312x_{61} = 82.7286065445312
x62=−55.5014702134197x_{62} = -55.5014702134197
x63=−11.5191730631626x_{63} = -11.5191730631626
x64=11.5191730631626x_{64} = 11.5191730631626
x65=5.23598775598299x_{65} = 5.23598775598299
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(2*cos(x)) - 1.
−1+2cos⁡(0)-1 + \sqrt{2 \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=−1+2f{\left(0 \right)} = -1 + \sqrt{2}
Punto:
(0, -1 + sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2cos⁡(x)sin⁡(x)2cos⁡(x)=0- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
           ___ 
(0, -1 + \/ 2 )

              ___ 
(pi, -1 + I*\/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡2(x)cos⁡32(x)+2cos⁡(x))4=0- \frac{\sqrt{2} \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}} + 2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}\right)}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)−1)=2⟨0,1⟩−1\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1\right) = \sqrt{2} \left\langle 0, 1\right\rangle - 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2⟨0,1⟩−1y = \sqrt{2} \left\langle 0, 1\right\rangle - 1
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)−1)=2⟨0,1⟩−1\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1\right) = \sqrt{2} \left\langle 0, 1\right\rangle - 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2⟨0,1⟩−1y = \sqrt{2} \left\langle 0, 1\right\rangle - 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2*cos(x)) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(x)−1=2cos⁡(x)−1\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1 = \sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1
- Sí
2cos⁡(x)−1=1−2cos⁡(x)\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1 = 1 - \sqrt{2 \cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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