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sqrt(x(3-x^2))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x(3-x^2))

Gráfico de la función y = sqrt(x(3-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________
         /   /     2\ 
f(x) = \/  x*\3 - x /
f(x)=x(3−x2)f{\left(x \right)} = \sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)} 
f = sqrt(x*(3 - x^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(3−x2)=0\sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−i3−1i3x_{1} = - \sqrt[3]{i} - \frac{1}{\sqrt[3]{i}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x*(3 - x^2)).
0(3−02)\sqrt{0 \left(3 - 0^{2}\right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(3−x2)(32−3x22)x(3−x2)=0\frac{\sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)} \left(\frac{3}{2} - \frac{3 x^{2}}{2}\right)}{x \left(3 - x^{2}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
         ___ 
(-1, I*\/ 2 )

      ___ 
(1, \/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=1x_{2} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3−x(x2−3)(1−x2−1x2−3−x2−12x2+3(x2−1)24x2(x2−3))x2−3=0\frac{3 \sqrt{- x \left(x^{2} - 3\right)} \left(1 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 3} - \frac{x^{2} - 1}{2 x^{2}} + \frac{3 \left(x^{2} - 1\right)^{2}}{4 x^{2} \left(x^{2} - 3\right)}\right)}{x^{2} - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3+23x_{1} = - \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}
x2=3+23x_{2} = \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−3+23]\left(-\infty, - \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]
Convexa en los intervalos
[−3+23,∞)\left[- \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x(3−x2)=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞x(3−x2)=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x*(3 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(3−x2)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x(3−x2)x)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)}}{x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(3−x2)=−x(3−x2)\sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)} = \sqrt{- x \left(3 - x^{2}\right)}
- No
x(3−x2)=−−x(3−x2)\sqrt{x \left(3 - x^{2}\right)} = - \sqrt{- x \left(3 - x^{2}\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x(3-x^2))
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