Sr Examen

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sqrt(x^2)/3
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2)/3

Gráfico de la función y = sqrt(x^2)/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____
         /  2 
       \/  x  
f(x) = -------
          3
f(x)=x23f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x^{2}}}{3} 
f = sqrt(x^2)/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x23=0\frac{\sqrt{x^{2}}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2)/3.
023\frac{\sqrt{0^{2}}}{3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
∣x∣3x=0\frac{\left|{x}\right|}{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sign⁡(x)−∣x∣x3x=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)} - \frac{\left|{x}\right|}{x}}{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−8x_{1} = -8
x2=60x_{2} = 60
x3=16x_{3} = 16
x4=88x_{4} = 88
x5=62x_{5} = 62
x6=58x_{6} = 58
x7=−88x_{7} = -88
x8=−44x_{8} = -44
x9=−80x_{9} = -80
x10=48x_{10} = 48
x11=84x_{11} = 84
x12=−24x_{12} = -24
x13=−98x_{13} = -98
x14=72x_{14} = 72
x15=42x_{15} = 42
x16=22x_{16} = 22
x17=82x_{17} = 82
x18=−18x_{18} = -18
x19=−58x_{19} = -58
x20=−70x_{20} = -70
x21=24x_{21} = 24
x22=−6x_{22} = -6
x23=92x_{23} = 92
x24=18x_{24} = 18
x25=94x_{25} = 94
x26=10x_{26} = 10
x27=−22x_{27} = -22
x28=−26x_{28} = -26
x29=−50x_{29} = -50
x30=46x_{30} = 46
x31=28x_{31} = 28
x32=26x_{32} = 26
x33=70x_{33} = 70
x34=66x_{34} = 66
x35=−92x_{35} = -92
x36=40x_{36} = 40
x37=−78x_{37} = -78
x38=64x_{38} = 64
x39=−76x_{39} = -76
x40=54x_{40} = 54
x41=−32x_{41} = -32
x42=98x_{42} = 98
x43=−10x_{43} = -10
x44=86x_{44} = 86
x45=−34x_{45} = -34
x46=−12x_{46} = -12
x47=14x_{47} = 14
x48=−16x_{48} = -16
x49=−60x_{49} = -60
x50=−94x_{50} = -94
x51=−48x_{51} = -48
x52=6x_{52} = 6
x53=−66x_{53} = -66
x54=−74x_{54} = -74
x55=−96x_{55} = -96
x56=100x_{56} = 100
x57=32x_{57} = 32
x58=−40x_{58} = -40
x59=−38x_{59} = -38
x60=−100x_{60} = -100
x61=74x_{61} = 74
x62=−62x_{62} = -62
x63=−82x_{63} = -82
x64=−56x_{64} = -56
x65=−64x_{65} = -64
x66=78x_{66} = 78
x67=76x_{67} = 76
x68=8x_{68} = 8
x69=38x_{69} = 38
x70=2x_{70} = 2
x71=−46x_{71} = -46
x72=−28x_{72} = -28
x73=−36x_{73} = -36
x74=34x_{74} = 34
x75=−52x_{75} = -52
x76=90x_{76} = 90
x77=−2x_{77} = -2
x78=68x_{78} = 68
x79=36x_{79} = 36
x80=56x_{80} = 56
x81=12x_{81} = 12
x82=4x_{82} = 4
x83=−90x_{83} = -90
x84=−86x_{84} = -86
x85=80x_{85} = 80
x86=52x_{86} = 52
x87=50x_{87} = 50
x88=44x_{88} = 44
x89=−72x_{89} = -72
x90=−20x_{90} = -20
x91=96x_{91} = 96
x92=−14x_{92} = -14
x93=−30x_{93} = -30
x94=−4x_{94} = -4
x95=−42x_{95} = -42
x96=20x_{96} = 20
x97=−68x_{97} = -68
x98=30x_{98} = 30
x99=−54x_{99} = -54
x100=−84x_{100} = -84

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−44,44]\left[-44, 44\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−90]\left(-\infty, -90\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x23)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2}}}{3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x23)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2}}}{3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2)/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣3x)=−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{3 x}\right) = - \frac{1}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−x3y = - \frac{x}{3}
lim⁡x→∞(∣x∣3x)=13\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{3 x}\right) = \frac{1}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x3y = \frac{x}{3}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x23=x23\frac{\sqrt{x^{2}}}{3} = \frac{\sqrt{x^{2}}}{3}
- Sí
x23=−x23\frac{\sqrt{x^{2}}}{3} = - \frac{\sqrt{x^{2}}}{3}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x^2)/3
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