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Trazado el gráfico de la función/ y=12cos(x)-15x+7

Gráfico de la función y = y=12cos(x)-15x+7

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 12*cos(x) - 15*x + 7
f(x)=(−15x+12cos⁡(x))+7f{\left(x \right)} = \left(- 15 x + 12 \cos{\left(x \right)}\right) + 7 
f = -15*x + 12*cos(x) + 7
Gráfico de la función
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−15x+12cos⁡(x))+7=0\left(- 15 x + 12 \cos{\left(x \right)}\right) + 7 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.939086836167395x_{1} = 0.939086836167395
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 12*cos(x) - 15*x + 7.
7+(−0+12cos⁡(0))7 + \left(- 0 + 12 \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=19f{\left(0 \right)} = 19
Punto:
(0, 19)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12sin⁡(x)−15=0- 12 \sin{\left(x \right)} - 15 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−12cos⁡(x)=0- 12 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−15x+12cos⁡(x))+7)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 15 x + 12 \cos{\left(x \right)}\right) + 7\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−15x+12cos⁡(x))+7)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 15 x + 12 \cos{\left(x \right)}\right) + 7\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 12*cos(x) - 15*x + 7, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−15x+12cos⁡(x))+7x)=−15\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 15 x + 12 \cos{\left(x \right)}\right) + 7}{x}\right) = -15
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−15xy = - 15 x
lim⁡x→∞((−15x+12cos⁡(x))+7x)=−15\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 15 x + 12 \cos{\left(x \right)}\right) + 7}{x}\right) = -15
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−15xy = - 15 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−15x+12cos⁡(x))+7=15x+12cos⁡(x)+7\left(- 15 x + 12 \cos{\left(x \right)}\right) + 7 = 15 x + 12 \cos{\left(x \right)} + 7
- No
(−15x+12cos⁡(x))+7=−15x−12cos⁡(x)−7\left(- 15 x + 12 \cos{\left(x \right)}\right) + 7 = - 15 x - 12 \cos{\left(x \right)} - 7
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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