Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2cos(x)-1

Gráfico de la función y = 2cos(x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(x) - 1
f(x)=2cos⁡(x)−1f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} - 1 
f = 2*cos(x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(x)−1=02 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−13.6135681655558x_{1} = -13.6135681655558
x2=89.0117918517108x_{2} = 89.0117918517108
x3=−93.2005820564972x_{3} = -93.2005820564972
x4=−55.5014702134197x_{4} = -55.5014702134197
x5=−36.6519142918809x_{5} = -36.6519142918809
x6=−30.3687289847013x_{6} = -30.3687289847013
x7=−68.0678408277789x_{7} = -68.0678408277789
x8=51.3126800086333x_{8} = 51.3126800086333
x9=32.4631240870945x_{9} = 32.4631240870945
x10=11.5191730631626x_{10} = 11.5191730631626
x11=−82.7286065445312x_{11} = -82.7286065445312
x12=−89.0117918517108x_{12} = -89.0117918517108
x13=63.8790506229925x_{13} = 63.8790506229925
x14=−26.1799387799149x_{14} = -26.1799387799149
x15=−42.9350995990605x_{15} = -42.9350995990605
x16=7.33038285837618x_{16} = 7.33038285837618
x17=82.7286065445312x_{17} = 82.7286065445312
x18=1651.43053823704x_{18} = 1651.43053823704
x19=95.2949771588904x_{19} = 95.2949771588904
x20=−19.8967534727354x_{20} = -19.8967534727354
x21=−45.0294947014537x_{21} = -45.0294947014537
x22=−24.0855436775217x_{22} = -24.0855436775217
x23=−95.2949771588904x_{23} = -95.2949771588904
x24=13.6135681655558x_{24} = 13.6135681655558
x25=5.23598775598299x_{25} = 5.23598775598299
x26=99.4837673636768x_{26} = 99.4837673636768
x27=−99.4837673636768x_{27} = -99.4837673636768
x28=45.0294947014537x_{28} = 45.0294947014537
x29=74.3510261349584x_{29} = 74.3510261349584
x30=42.9350995990605x_{30} = 42.9350995990605
x31=61.7846555205993x_{31} = 61.7846555205993
x32=36.6519142918809x_{32} = 36.6519142918809
x33=24.0855436775217x_{33} = 24.0855436775217
x34=−5.23598775598299x_{34} = -5.23598775598299
x35=93.2005820564972x_{35} = 93.2005820564972
x36=−86.9173967493176x_{36} = -86.9173967493176
x37=−1.0471975511966x_{37} = -1.0471975511966
x38=−11.5191730631626x_{38} = -11.5191730631626
x39=−74.3510261349584x_{39} = -74.3510261349584
x40=49.2182849062401x_{40} = 49.2182849062401
x41=26.1799387799149x_{41} = 26.1799387799149
x42=80.634211442138x_{42} = 80.634211442138
x43=55.5014702134197x_{43} = 55.5014702134197
x44=−76.4454212373516x_{44} = -76.4454212373516
x45=−32.4631240870945x_{45} = -32.4631240870945
x46=30.3687289847013x_{46} = 30.3687289847013
x47=−63.8790506229925x_{47} = -63.8790506229925
x48=86.9173967493176x_{48} = 86.9173967493176
x49=−70.162235930172x_{49} = -70.162235930172
x50=17.8023583703422x_{50} = 17.8023583703422
x51=−17.8023583703422x_{51} = -17.8023583703422
x52=−225.147473507269x_{52} = -225.147473507269
x53=−57.5958653158129x_{53} = -57.5958653158129
x54=1.0471975511966x_{54} = 1.0471975511966
x55=−359.188760060433x_{55} = -359.188760060433
x56=−51.3126800086333x_{56} = -51.3126800086333
x57=70.162235930172x_{57} = 70.162235930172
x58=−61.7846555205993x_{58} = -61.7846555205993
x59=38.7463093942741x_{59} = 38.7463093942741
x60=68.0678408277789x_{60} = 68.0678408277789
x61=76.4454212373516x_{61} = 76.4454212373516
x62=−7.33038285837618x_{62} = -7.33038285837618
x63=19.8967534727354x_{63} = 19.8967534727354
x64=−80.634211442138x_{64} = -80.634211442138
x65=57.5958653158129x_{65} = 57.5958653158129
x66=−38.7463093942741x_{66} = -38.7463093942741
x67=−49.2182849062401x_{67} = -49.2182849062401
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(x) - 1.
−1+2cos⁡(0)-1 + 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2cos⁡(x)=0- 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(x)−1=2cos⁡(x)−12 \cos{\left(x \right)} - 1 = 2 \cos{\left(x \right)} - 1
- Sí
2cos⁡(x)−1=1−2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 1 - 2 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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