Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^3
-
x*e^x
-
x^2-3*x+1
-
x^3/(x-1)^2
- Límite de la función:
- cos(x)^2-sin(x)
-
Expresiones idénticas
- cos(x)^ dos -sin(x)
- coseno de (x) al cuadrado menos seno de (x)
- coseno de (x) en el grado dos menos seno de (x)
- cos(x)2-sin(x)
- cosx2-sinx
- cos(x)²-sin(x)
- cos(x) en el grado 2-sin(x)
- cosx^2-sinx
-
Expresiones semejantes
- cos(x)^2+sin(x)
- cosx^2-sinx
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/x
- cos(x)*cos(2x)
- cos(x)+1/2*sin(2x)
- cos(z)
- cos(x)*cos(x)
- Seno sin
- sin(x/5)*exp(x/10)+5*exp(-x/2)
- sin(x)/(2*x+16)
- sin(2*x+3)^(2)
- sin(x^3)
- sin(10*x)
Gráfico de la función y = cos(x)^2-sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = cos (x) - sin(x)
$$f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
f = -sin(x) + cos(x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -18.1833164890462$$
$$x_{2} = -66.6396851578782$$
$$x_{3} = -87.2983548680217$$
$$x_{4} = 90.4399475216115$$
$$x_{5} = -68.4487989464829$$
$$x_{6} = -43.3160577177646$$
$$x_{7} = 32.0821659683904$$
$$x_{8} = -54.073314543519$$
$$x_{9} = 71.5903916000727$$
$$x_{10} = -41.5069439291598$$
$$x_{11} = 0.666239432492515$$
$$x_{12} = 2.47535322109728$$
$$x_{13} = 27.6080944498156$$
$$x_{14} = -49.5992430249442$$
$$x_{15} = -35.2237586219802$$
$$x_{16} = 84.1567622144319$$
$$x_{17} = 94.9140190401863$$
$$x_{18} = -16.3742027004415$$
$$x_{19} = 82.3476484258271$$
$$x_{20} = -10.0910173932619$$
$$x_{21} = -62.1656136393034$$
$$x_{22} = 40.1744650641748$$
$$x_{23} = -5.61694587468707$$
$$x_{24} = -91.7724263865965$$
$$x_{25} = 19.5157953540313$$
$$x_{26} = 50.9317218899292$$
$$x_{27} = 52.740835678534$$
$$x_{28} = 96.7231328287911$$
$$x_{29} = -30.7496871034054$$
$$x_{30} = -22.6573880076211$$
$$x_{31} = 65.3072062928931$$
$$x_{32} = 46.4576503713544$$
$$x_{33} = 44.6485365827496$$
$$x_{34} = 6.9494247396721$$
$$x_{35} = 15.0417238354565$$
$$x_{36} = 38.36535127557$$
$$x_{37} = -99.8647254823809$$
$$x_{38} = -269.51072877623$$
$$x_{39} = -98.0556116937761$$
$$x_{40} = -85.4892410794169$$
$$x_{41} = -93.5815401752013$$
$$x_{42} = -3.80783208608231$$
$$x_{43} = 103.006318135971$$
$$x_{44} = -81.0151695608421$$
$$x_{45} = 33.8912797569952$$
$$x_{46} = 25.7989806612109$$
$$x_{47} = -47.7901292363394$$
$$x_{48} = -60.3564998506986$$
$$x_{49} = -11.9001311818667$$
$$x_{50} = 69.781277811468$$
$$x_{51} = -72.9228704650578$$
$$x_{52} = 21.324909142636$$
$$x_{53} = -24.4665017962258$$
$$x_{54} = -37.032872410585$$
$$x_{55} = 77.8735769072523$$
$$x_{56} = 76.0644631186476$$
$$x_{57} = -55.8824283321238$$
$$x_{58} = 8.75853852827686$$
$$x_{59} = 88.6308337330067$$
$$x_{60} = -79.2060557722373$$
$$x_{61} = 63.4980925042884$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -18.1833164890462$$
$$x_{2} = -66.6396851578782$$
$$x_{3} = -87.2983548680217$$
$$x_{4} = 90.4399475216115$$
$$x_{5} = -68.4487989464829$$
$$x_{6} = -43.3160577177646$$
$$x_{7} = 32.0821659683904$$
$$x_{8} = -54.073314543519$$
$$x_{9} = 71.5903916000727$$
$$x_{10} = -41.5069439291598$$
$$x_{11} = 0.666239432492515$$
$$x_{12} = 2.47535322109728$$
$$x_{13} = 27.6080944498156$$
$$x_{14} = -49.5992430249442$$
$$x_{15} = -35.2237586219802$$
$$x_{16} = 84.1567622144319$$
$$x_{17} = 94.9140190401863$$
$$x_{18} = -16.3742027004415$$
$$x_{19} = 82.3476484258271$$
$$x_{20} = -10.0910173932619$$
$$x_{21} = -62.1656136393034$$
$$x_{22} = 40.1744650641748$$
$$x_{23} = -5.61694587468707$$
$$x_{24} = -91.7724263865965$$
$$x_{25} = 19.5157953540313$$
$$x_{26} = 50.9317218899292$$
$$x_{27} = 52.740835678534$$
$$x_{28} = 96.7231328287911$$
$$x_{29} = -30.7496871034054$$
$$x_{30} = -22.6573880076211$$
$$x_{31} = 65.3072062928931$$
$$x_{32} = 46.4576503713544$$
$$x_{33} = 44.6485365827496$$
$$x_{34} = 6.9494247396721$$
$$x_{35} = 15.0417238354565$$
$$x_{36} = 38.36535127557$$
$$x_{37} = -99.8647254823809$$
$$x_{38} = -269.51072877623$$
$$x_{39} = -98.0556116937761$$
$$x_{40} = -85.4892410794169$$
$$x_{41} = -93.5815401752013$$
$$x_{42} = -3.80783208608231$$
$$x_{43} = 103.006318135971$$
$$x_{44} = -81.0151695608421$$
$$x_{45} = 33.8912797569952$$
$$x_{46} = 25.7989806612109$$
$$x_{47} = -47.7901292363394$$
$$x_{48} = -60.3564998506986$$
$$x_{49} = -11.9001311818667$$
$$x_{50} = 69.781277811468$$
$$x_{51} = -72.9228704650578$$
$$x_{52} = 21.324909142636$$
$$x_{53} = -24.4665017962258$$
$$x_{54} = -37.032872410585$$
$$x_{55} = 77.8735769072523$$
$$x_{56} = 76.0644631186476$$
$$x_{57} = -55.8824283321238$$
$$x_{58} = 8.75853852827686$$
$$x_{59} = 88.6308337330067$$
$$x_{60} = -79.2060557722373$$
$$x_{61} = 63.4980925042884$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
-5*pi (-----, 5/4) 6
-pi (----, 1) 2
-pi (----, 5/4) 6
pi (--, -1) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2 - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico