Sr Examen

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cos(x)^2-sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)^2-sin(x)

Gráfico de la función y = cos(x)^2-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
f(x) = cos (x) - sin(x)
f(x)=−sin⁡(x)+cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} 
f = -sin(x) + cos(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)+cos⁡2(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2atan⁡(12+52+21+52)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}
x2=2atan⁡(−21+52+12+52)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}
Solución numérica
x1=−18.1833164890462x_{1} = -18.1833164890462
x2=−66.6396851578782x_{2} = -66.6396851578782
x3=−87.2983548680217x_{3} = -87.2983548680217
x4=90.4399475216115x_{4} = 90.4399475216115
x5=−68.4487989464829x_{5} = -68.4487989464829
x6=−43.3160577177646x_{6} = -43.3160577177646
x7=32.0821659683904x_{7} = 32.0821659683904
x8=−54.073314543519x_{8} = -54.073314543519
x9=71.5903916000727x_{9} = 71.5903916000727
x10=−41.5069439291598x_{10} = -41.5069439291598
x11=0.666239432492515x_{11} = 0.666239432492515
x12=2.47535322109728x_{12} = 2.47535322109728
x13=27.6080944498156x_{13} = 27.6080944498156
x14=−49.5992430249442x_{14} = -49.5992430249442
x15=−35.2237586219802x_{15} = -35.2237586219802
x16=84.1567622144319x_{16} = 84.1567622144319
x17=94.9140190401863x_{17} = 94.9140190401863
x18=−16.3742027004415x_{18} = -16.3742027004415
x19=82.3476484258271x_{19} = 82.3476484258271
x20=−10.0910173932619x_{20} = -10.0910173932619
x21=−62.1656136393034x_{21} = -62.1656136393034
x22=40.1744650641748x_{22} = 40.1744650641748
x23=−5.61694587468707x_{23} = -5.61694587468707
x24=−91.7724263865965x_{24} = -91.7724263865965
x25=19.5157953540313x_{25} = 19.5157953540313
x26=50.9317218899292x_{26} = 50.9317218899292
x27=52.740835678534x_{27} = 52.740835678534
x28=96.7231328287911x_{28} = 96.7231328287911
x29=−30.7496871034054x_{29} = -30.7496871034054
x30=−22.6573880076211x_{30} = -22.6573880076211
x31=65.3072062928931x_{31} = 65.3072062928931
x32=46.4576503713544x_{32} = 46.4576503713544
x33=44.6485365827496x_{33} = 44.6485365827496
x34=6.9494247396721x_{34} = 6.9494247396721
x35=15.0417238354565x_{35} = 15.0417238354565
x36=38.36535127557x_{36} = 38.36535127557
x37=−99.8647254823809x_{37} = -99.8647254823809
x38=−269.51072877623x_{38} = -269.51072877623
x39=−98.0556116937761x_{39} = -98.0556116937761
x40=−85.4892410794169x_{40} = -85.4892410794169
x41=−93.5815401752013x_{41} = -93.5815401752013
x42=−3.80783208608231x_{42} = -3.80783208608231
x43=103.006318135971x_{43} = 103.006318135971
x44=−81.0151695608421x_{44} = -81.0151695608421
x45=33.8912797569952x_{45} = 33.8912797569952
x46=25.7989806612109x_{46} = 25.7989806612109
x47=−47.7901292363394x_{47} = -47.7901292363394
x48=−60.3564998506986x_{48} = -60.3564998506986
x49=−11.9001311818667x_{49} = -11.9001311818667
x50=69.781277811468x_{50} = 69.781277811468
x51=−72.9228704650578x_{51} = -72.9228704650578
x52=21.324909142636x_{52} = 21.324909142636
x53=−24.4665017962258x_{53} = -24.4665017962258
x54=−37.032872410585x_{54} = -37.032872410585
x55=77.8735769072523x_{55} = 77.8735769072523
x56=76.0644631186476x_{56} = 76.0644631186476
x57=−55.8824283321238x_{57} = -55.8824283321238
x58=8.75853852827686x_{58} = 8.75853852827686
x59=88.6308337330067x_{59} = 88.6308337330067
x60=−79.2060557722373x_{60} = -79.2060557722373
x61=63.4980925042884x_{61} = 63.4980925042884
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^2 - sin(x).
−sin⁡(0)+cos⁡2(0)- \sin{\left(0 \right)} + \cos^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5π6x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=−π6x_{3} = - \frac{\pi}{6}
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -5*pi      
(-----, 5/4)
   6        

 -pi     
(----, 1)
  2      

 -pi       
(----, 5/4)
  6        

 pi     
(--, -1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=−5π6x_{2} = - \frac{5 \pi}{6}
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[−π6,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)+sin⁡(x)−2cos⁡2(x)=02 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(−14+29−334+334)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x2=2atan⁡(14+233+94+334)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}
x3=2atan⁡(−334+14+29−334)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}
x4=2atan⁡(−233+94+14+334)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(−14+29−334+334),2atan⁡(−334+14+29−334)]∪[2atan⁡(−233+94+14+334),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(−14+29−334+334)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{9 - \sqrt{33}}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+cos⁡2(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+cos⁡2(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2 - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)+cos⁡2(x)=sin⁡(x)+cos⁡2(x)- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
−sin⁡(x)+cos⁡2(x)=−sin⁡(x)−cos⁡2(x)- \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)^2-sin(x)
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