Sr Examen

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sin(x)/x^2
Trazado el gráfico de la función/ sin(x)/x^2

Gráfico de la función y = sin(x)/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(x)
f(x) = ------
          2  
         x
f(x)=sin⁡(x)x2f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} 
f = sin(x)/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/x^2.
sin⁡(0)02\frac{\sin{\left(0 \right)}}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)−4cos⁡(x)x+6sin⁡(x)x2x2=0\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=91.062257436179x_{1} = 91.062257436179
x2=97.3482797940221x_{2} = 97.3482797940221
x3=40.7424877717949x_{3} = 40.7424877717949
x4=−62.7681157023437x_{4} = -62.7681157023437
x5=−65.9127501554x_{5} = -65.9127501554
x6=−8.97605051257904x_{6} = -8.97605051257904
x7=−40.7424877717949x_{7} = -40.7424877717949
x8=15.4483523863598x_{8} = 15.4483523863598
x9=94.2053159739443x_{9} = 94.2053159739443
x10=47.0388282034809x_{10} = 47.0388282034809
x11=−94.2053159739443x_{11} = -94.2053159739443
x12=−84.775814009638x_{12} = -84.775814009638
x13=−21.8074752137182x_{13} = -21.8074752137182
x14=62.7681157023437x_{14} = 62.7681157023437
x15=−59.6231598593086x_{15} = -59.6231598593086
x16=−103.633957788301x_{16} = -103.633957788301
x17=−97.3482797940221x_{17} = -97.3482797940221
x18=12.2381969308869x_{18} = 12.2381969308869
x19=285.87093903435x_{19} = 285.87093903435
x20=65.9127501554x_{20} = 65.9127501554
x21=−72.2012232421495x_{21} = -72.2012232421495
x22=31.2879960874193x_{22} = 31.2879960874193
x23=−12.2381969308869x_{23} = -12.2381969308869
x24=−75.3451284332546x_{24} = -75.3451284332546
x25=18.6345038295593x_{25} = 18.6345038295593
x26=−24.9723967539363x_{26} = -24.9723967539363
x27=81.6324039514272x_{27} = 81.6324039514272
x28=−56.4778287709489x_{28} = -56.4778287709489
x29=−31.2879960874193x_{29} = -31.2879960874193
x30=72.2012232421495x_{30} = 72.2012232421495
x31=113.061954853212x_{31} = 113.061954853212
x32=69.0571072290369x_{32} = 69.0571072290369
x33=43.8911312435672x_{33} = 43.8911312435672
x34=28.1320294160852x_{34} = 28.1320294160852
x35=53.332055816622x_{35} = 53.332055816622
x36=−43.8911312435672x_{36} = -43.8911312435672
x37=−50.1857575826447x_{37} = -50.1857575826447
x38=75.3451284332546x_{38} = 75.3451284332546
x39=−47.0388282034809x_{39} = -47.0388282034809
x40=−5.55357469359905x_{40} = -5.55357469359905
x41=−37.5926583617233x_{41} = -37.5926583617233
x42=−18.6345038295593x_{42} = -18.6345038295593
x43=−69.0571072290369x_{43} = -69.0571072290369
x44=21.8074752137182x_{44} = 21.8074752137182
x45=524.63834883134x_{45} = 524.63834883134
x46=5.55357469359905x_{46} = 5.55357469359905
x47=−122.489456168277x_{47} = -122.489456168277
x48=37.5926583617233x_{48} = 37.5926583617233
x49=−87.9190940091069x_{49} = -87.9190940091069
x50=−81.6324039514272x_{50} = -81.6324039514272
x51=100.49115779344x_{51} = 100.49115779344
x52=−91.062257436179x_{52} = -91.062257436179
x53=−78.4888481827298x_{53} = -78.4888481827298
x54=−34.4413150584931x_{54} = -34.4413150584931
x55=50.1857575826447x_{55} = 50.1857575826447
x56=24.9723967539363x_{56} = 24.9723967539363
x57=56.4778287709489x_{57} = 56.4778287709489
x58=84.775814009638x_{58} = 84.775814009638
x59=−15.4483523863598x_{59} = -15.4483523863598
x60=−113.061954853212x_{60} = -113.061954853212
x61=59.6231598593086x_{61} = 59.6231598593086
x62=87.9190940091069x_{62} = 87.9190940091069
x63=78.4888481827298x_{63} = 78.4888481827298
x64=−28.1320294160852x_{64} = -28.1320294160852
x65=8.97605051257904x_{65} = 8.97605051257904
x66=34.4413150584931x_{66} = 34.4413150584931
x67=380.122188103653x_{67} = 380.122188103653
x68=−100.49115779344x_{68} = -100.49115779344
x69=−53.332055816622x_{69} = -53.332055816622
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−sin⁡(x)−4cos⁡(x)x+6sin⁡(x)x2x2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−sin⁡(x)−4cos⁡(x)x+6sin⁡(x)x2x2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[524.63834883134,∞)\left[524.63834883134, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−122.489456168277]\left(-\infty, -122.489456168277\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(sin⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)x2=−sin⁡(x)x2\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}
- No
sin⁡(x)x2=sin⁡(x)x2\frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)/x^2
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