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cosh(x^2-1)^(2)-cosh(x)
Trazado el gráfico de la función/ cosh(x^2-1)^(2)-cosh(x)

Gráfico de la función y = cosh(x^2-1)^(2)-cosh(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2/ 2    \          
f(x) = cosh \x  - 1/ - cosh(x)
f(x)=−cosh⁡(x)+cosh⁡2(x2−1)f{\left(x \right)} = - \cosh{\left(x \right)} + \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} 
f = -cosh(x) + cosh(x^2 - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-3e853e85
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cosh(x^2 - 1)^2 - cosh(x).
−cosh⁡(0)+cosh⁡2(−1+02)- \cosh{\left(0 \right)} + \cosh^{2}{\left(-1 + 0^{2} \right)}
Resultado:
f(0)=−1+cosh⁡2(1)f{\left(0 \right)} = -1 + \cosh^{2}{\left(1 \right)}
Punto:
(0, -1 + cosh(1)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4xsinh⁡(x2−1)cosh⁡(x2−1)−sinh⁡(x)=04 x \sinh{\left(x^{2} - 1 \right)} \cosh{\left(x^{2} - 1 \right)} - \sinh{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−1.13609056699875x_{2} = -1.13609056699875
x3=1.13609056699875x_{3} = 1.13609056699875
Signos de extremos en los puntos:
               2    
(0, -1 + cosh (1))

(-1.1360905669987544, -0.630905043226557)

(1.1360905669987544, -0.630905043226557)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1.13609056699875x_{1} = -1.13609056699875
x2=1.13609056699875x_{2} = 1.13609056699875
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−1.13609056699875,0]∪[1.13609056699875,∞)\left[-1.13609056699875, 0\right] \cup \left[1.13609056699875, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1.13609056699875]∪[0,1.13609056699875]\left(-\infty, -1.13609056699875\right] \cup \left[0, 1.13609056699875\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8x2sinh⁡2(x2−1)+8x2cosh⁡2(x2−1)+4sinh⁡(x2−1)cosh⁡(x2−1)−cosh⁡(x)=08 x^{2} \sinh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 8 x^{2} \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} + 4 \sinh{\left(x^{2} - 1 \right)} \cosh{\left(x^{2} - 1 \right)} - \cosh{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.536547502033446x_{1} = -0.536547502033446
x2=0.536547502033446x_{2} = 0.536547502033446

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−0.536547502033446]∪[0.536547502033446,∞)\left(-\infty, -0.536547502033446\right] \cup \left[0.536547502033446, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−0.536547502033446,0.536547502033446]\left[-0.536547502033446, 0.536547502033446\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−cosh⁡(x)+cosh⁡2(x2−1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \cosh{\left(x \right)} + \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−cosh⁡(x)+cosh⁡2(x2−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(- \cosh{\left(x \right)} + \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cosh(x^2 - 1)^2 - cosh(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−cosh⁡(x)+cosh⁡2(x2−1)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cosh{\left(x \right)} + \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−cosh⁡(x)+cosh⁡2(x2−1)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cosh{\left(x \right)} + \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−cosh⁡(x)+cosh⁡2(x2−1)=−cosh⁡(x)+cosh⁡2(x2−1)- \cosh{\left(x \right)} + \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} = - \cosh{\left(x \right)} + \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}
- Sí
−cosh⁡(x)+cosh⁡2(x2−1)=cosh⁡(x)−cosh⁡2(x2−1)- \cosh{\left(x \right)} + \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)} = \cosh{\left(x \right)} - \cosh^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cosh(x^2-1)^(2)-cosh(x)
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