Sr Examen

Gráfico de la función y = cos3x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          2     
f(x) = cos (3*x)
f(x)=cos2(3x)f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(3 x \right)}
f = cos(3*x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos2(3x)=0\cos^{2}{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=3.6651914786486x_{1} = -3.6651914786486
x2=4.71238901629785x_{2} = 4.71238901629785
x3=42.4115007524084x_{3} = 42.4115007524084
x4=75.9218225202323x_{4} = 75.9218225202323
x5=49.7418836877244x_{5} = -49.7418836877244
x6=9.94837684644357x_{6} = -9.94837684644357
x7=43.4586982782211x_{7} = -43.4586982782211
x8=218.340689710019x_{8} = -218.340689710019
x9=25.6563400574942x_{9} = -25.6563400574942
x10=34.0339203815254x_{10} = -34.0339203815254
x11=40.3171056798614x_{11} = 40.3171056798614
x12=60.2138591280511x_{12} = -60.2138591280511
x13=12.0427718000216x_{13} = -12.0427718000216
x14=97.9129710990821x_{14} = 97.9129710990821
x15=71.7330322689618x_{15} = -71.7330322689618
x16=66.4970444630068x_{16} = 66.4970444630068
x17=18.3259571004719x_{17} = 18.3259571004719
x18=7.85398152418181x_{18} = -7.85398152418181
x19=62.3082544993577x_{19} = -62.3082544993577
x20=38.2227105578705x_{20} = -38.2227105578705
x21=95.8185758690479x_{21} = -95.8185758690479
x22=56.0250689637531x_{22} = -56.0250689637531
x23=64.4026493286099x_{23} = 64.4026493286099
x24=7.85398171030129x_{24} = 7.85398171030129
x25=89.5353906915371x_{25} = -89.5353906915371
x26=73.8274272823298x_{26} = -73.8274272823298
x27=58.1194640191823x_{27} = -58.1194640191823
x28=93.7241808065961x_{28} = 93.7241808065961
x29=53.9306740746488x_{29} = -53.9306740746488
x30=27.7507351061626x_{30} = -27.7507351061626
x31=93.7241808498957x_{31} = -93.7241808498957
x32=96.865773562311x_{32} = -96.865773562311
x33=56.0250689512033x_{33} = 56.0250689512033
x34=29.8451302859375x_{34} = 29.8451302859375
x35=38.2227104061931x_{35} = 38.2227104061931
x36=88.4881930280058x_{36} = 88.4881930280058
x37=40.3171057809134x_{37} = -40.3171057809134
x38=60.2138592240082x_{38} = 60.2138592240082
x39=47.6474886360566x_{39} = -47.6474886360566
x40=69.6386372143248x_{40} = -69.6386372143248
x41=31.9395253611477x_{41} = 31.9395253611477
x42=84.2994028394378x_{42} = 84.2994028394378
x43=82.205007807797x_{43} = 82.205007807797
x44=51.8362786947358x_{44} = -51.8362786947358
x45=38.2227106407841x_{45} = 38.2227106407841
x46=16.2315619891784x_{46} = -16.2315619891784
x47=31.9395254607427x_{47} = -31.9395254607427
x48=84.2994030191035x_{48} = -84.2994030191035
x49=14.1371668657739x_{49} = -14.1371668657739
x50=91.6297857922845x_{50} = -91.6297857922845
x51=27.7507351416945x_{51} = 27.7507351416945
x52=16.2315620580511x_{52} = 16.2315620580511
x53=20.4203521766952x_{53} = 20.4203521766952
x54=100.007366130902x_{54} = -100.007366130902
x55=14.1371669873783x_{55} = 14.1371669873783
x56=36.1283154422719x_{56} = -36.1283154422719
x57=95.8185760099185x_{57} = 95.8185760099185
x58=9.94837678084721x_{58} = 9.94837678084721
x59=45.5530935467806x_{59} = -45.5530935467806
x60=12.0427717588149x_{60} = 12.0427717588149
x61=65.4498467952353x_{61} = -65.4498467952353
x62=0.523598793698386x_{62} = 0.523598793698386
x63=34.0339203573462x_{63} = 34.0339203573462
x64=23.5619449729929x_{64} = -23.5619449729929
x65=49.7418837022546x_{65} = 49.7418837022546
x66=86.3937979052498x_{66} = 86.3937979052498
x67=219.387886624637x_{67} = 219.387886624637
x68=73.8274274357866x_{68} = 73.8274274357866
x69=21.467549748169x_{69} = -21.467549748169
x70=62.308254259517x_{70} = 62.308254259517
x71=53.9306739409302x_{71} = 53.9306739409302
x72=22.51474734437x_{72} = 22.51474734437
x73=1.57079639846571x_{73} = -1.57079639846571
x74=100.007366129875x_{74} = 100.007366129875
x75=71.7330322578684x_{75} = 71.7330322578684
x76=96.8657733416992x_{76} = -96.8657733416992
x77=80.1106125965004x_{77} = -80.1106125965004
x78=87.4409953189147x_{78} = -87.4409953189147
x79=5.75958657756439x_{79} = 5.75958657756439
x80=29.8451301070482x_{80} = -29.8451301070482
x81=78.0162175468244x_{81} = -78.0162175468244
x82=51.8362788611105x_{82} = 51.8362788611105
x83=67.5442421196901x_{83} = -67.5442421196901
x84=44.5058959013899x_{84} = 44.5058959013899
x85=82.2050076993983x_{85} = -82.2050076993983
x86=5.75958652424928x_{86} = -5.75958652424928
x87=78.0162175417499x_{87} = 78.0162175417499
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(3*x)^2.
cos2(03)\cos^{2}{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6sin(3x)cos(3x)=0- 6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π6x_{3} = \frac{\pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 -pi     
(----, 0)
  6      

 pi    
(--, 0)
 6     


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[π6,0][π6,)\left[- \frac{\pi}{6}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,π6][0,π6]\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
18(sin2(3x)cos2(3x))=018 \left(\sin^{2}{\left(3 x \right)} - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π12x_{1} = - \frac{\pi}{12}
x2=π12x_{2} = \frac{\pi}{12}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,π12][π12,)\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{\pi}{12}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π12,π12]\left[- \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxcos2(3x)=0,1\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left(3 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0,1y = \left\langle 0, 1\right\rangle
limxcos2(3x)=0,1\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left(3 x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0,1y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(3*x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(cos2(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(cos2(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos2(3x)=cos2(3x)\cos^{2}{\left(3 x \right)} = \cos^{2}{\left(3 x \right)}
- Sí
cos2(3x)=cos2(3x)\cos^{2}{\left(3 x \right)} = - \cos^{2}{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
es
par