Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt((2*x+3)^3)*e^(-x)

Gráfico de la función y = sqrt((2*x+3)^3)*e^(-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________    
         /          3   -x
f(x) = \/  (2*x + 3)  *E
f(x)=e−x(2x+3)3f{\left(x \right)} = e^{- x} \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} 
f = E^(-x)*sqrt((2*x + 3)^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−x(2x+3)3=0e^{- x} \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=61.8157884816431x_{1} = 61.8157884816431
x2=81.6329905790302x_{2} = 81.6329905790302
x3=44.1846070578397x_{3} = 44.1846070578397
x4=53.9390903341121x_{4} = 53.9390903341121
x5=71.708892726077x_{5} = 71.708892726077
x6=51.977917418658x_{6} = 51.977917418658
x7=103.524593817163x_{7} = 103.524593817163
x8=42.2547536287917x_{8} = 42.2547536287917
x9=48.0691473072523x_{9} = 48.0691473072523
x10=101.532242062767x_{10} = 101.532242062767
x11=113.490876041761x_{11} = 113.490876041761
x12=63.791046208665x_{12} = 63.791046208665
x13=57.8719112786737x_{13} = 57.8719112786737
x14=77.6605532164086x_{14} = 77.6605532164086
x15=75.6756444193769x_{15} = 75.6756444193769
x16=36.5434699093467x_{16} = 36.5434699093467
x17=91.5762640298328x_{17} = 91.5762640298328
x18=95.5573877939381x_{18} = 95.5573877939381
x19=59.8426477418814x_{19} = 59.8426477418814
x20=97.5486131941183x_{20} = 97.5486131941183
x21=109.503532916145x_{21} = 109.503532916145
x22=105.517273021307x_{22} = 105.517273021307
x23=99.5402402997044x_{23} = 99.5402402997044
x24=115.484914473072x_{24} = 115.484914473072
x25=38.4307138703711x_{25} = 38.4307138703711
x26=79.6463614264492x_{26} = 79.6463614264492
x27=107.510259033655x_{27} = 107.510259033655
x28=34.4257331436488x_{28} = 34.4257331436488
x29=93.5665938245543x_{29} = 93.5665938245543
x30=87.5971454643819x_{30} = 87.5971454643819
x31=119.473656679255x_{31} = 119.473656679255
x32=50.0210159806595x_{32} = 50.0210159806595
x33=34.6800163461302x_{33} = 34.6800163461302
x34=85.6084411580172x_{34} = 85.6084411580172
x35=89.5864345668301x_{35} = 89.5864345668301
x36=40.3358270949082x_{36} = 40.3358270949082
x37=83.6203711165116x_{37} = 83.6203711165116
x38=67.7469771523196x_{38} = 67.7469771523196
x39=69.7272663184576x_{39} = 69.7272663184576
x40=46.1232694738407x_{40} = 46.1232694738407
x41=117.479178897929x_{41} = 117.479178897929
x42=73.6917239030971x_{42} = 73.6917239030971
x43=−1.50000000004723x_{43} = -1.50000000004723
x44=55.9039215568408x_{44} = 55.9039215568408
x45=65.7681780356844x_{45} = 65.7681780356844
x46=111.497077261603x_{46} = 111.497077261603
x47=121.468336106747x_{47} = 121.468336106747
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((2*x + 3)^3)*E^(-x).
e−0(0⋅2+3)3e^{- 0} \sqrt{\left(0 \cdot 2 + 3\right)^{3}}
Resultado:
f(0)=33f{\left(0 \right)} = 3 \sqrt{3}
Punto:
(0, 3*sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(2x+3)3e−x+3(2x+3)3e−x2x+3=0- \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x} + \frac{3 \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}}{2 x + 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
        ___ 
(0, 3*\/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−62x+3+3(2x+3)2)(2x+3)3e−x=0\left(1 - \frac{6}{2 x + 3} + \frac{3}{\left(2 x + 3\right)^{2}}\right) \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−62x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2}
x2=62x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−62]∪[62,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−62,62]\left[- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−x(2x+3)3)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(e−x(2x+3)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((2*x + 3)^3)*E^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2x+3)3e−xx)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}}{x}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((2x+3)3e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−x(2x+3)3=(3−2x)3exe^{- x} \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} = \sqrt{\left(3 - 2 x\right)^{3}} e^{x}
- No
e−x(2x+3)3=−(3−2x)3exe^{- x} \sqrt{\left(2 x + 3\right)^{3}} = - \sqrt{\left(3 - 2 x\right)^{3}} e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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