Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (2x+ uno)/(x²-x+ uno)
- (2x más 1) dividir por (x² menos x más 1)
- (2x más uno) dividir por (x² menos x más uno)
- 2x+1/x²-x+1
- (2x+1) dividir por (x²-x+1)
-
Expresiones semejantes
- (2x+1)/(x²+x+1)
- (2x-1)/(x²-x+1)
- (2x+1)/(x²-x-1)
Gráfico de la función y = (2x+1)/(x²-x+1)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x + 1
f(x) = ----------
2
x - x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1}$$
f = (2*x + 1)/(x^2 - x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - x\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - x\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ ___
1 \/ 7 \/ 7
(- - + -----, --------------------------)
2 2 2
/ ___\ ___
3 | 1 \/ 7 | \/ 7
- + |- - + -----| - -----
2 \ 2 2 / 2 ___ ___
1 \/ 7 -\/ 7
(- - - -----, --------------------------)
2 2 2
/ ___\ ___
3 | 1 \/ 7 | \/ 7
- + |- - - -----| + -----
2 \ 2 2 / 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x^{2} - x + 1} - 1\right) + 2\right)}{\left(x^{2} - x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{189}{4} + \frac{189 \sqrt{3} i}{8}}}{3} - \frac{21}{4 \sqrt[3]{\frac{189}{4} + \frac{189 \sqrt{3} i}{8}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{7} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{7} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x^{2} - x + 1} - 1\right) + 2\right)}{\left(x^{2} - x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{189}{4} + \frac{189 \sqrt{3} i}{8}}}{3} - \frac{21}{4 \sqrt[3]{\frac{189}{4} + \frac{189 \sqrt{3} i}{8}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{7} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{7} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1)/(x^2 - x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1} = \frac{1 - 2 x}{x^{2} + x + 1}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1} = - \frac{1 - 2 x}{x^{2} + x + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1} = \frac{1 - 2 x}{x^{2} + x + 1}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{\left(x^{2} - x\right) + 1} = - \frac{1 - 2 x}{x^{2} + x + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar