Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^1/(x(x+1))

Gráfico de la función y = e^1/(x(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1    
        ---------
        x*(x + 1)
f(x) = E
f(x)=e1x(x+1)f{\left(x \right)} = e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} 
f = E^(1/(x*(x + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e1x(x+1)=0e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(1/(x*(x + 1))).
e10e^{\frac{1}{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x−1)e1x(x+1)x2(x+1)2=0\frac{\left(- 2 x - 1\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
        -4 
(-1/2, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2+2(2x+1)x+1+2(2x+1)x+(2x+1)2x2(x+1)2)e1x(x+1)x2(x+1)2=0\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12−−9+636x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}
x2=−12+−9+636x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0

lim⁡x→−1−((−2+2(2x+1)x+1+2(2x+1)x+(2x+1)2x2(x+1)2)e1x(x+1)x2(x+1)2)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−1+((−2+2(2x+1)x+1+2(2x+1)x+(2x+1)2x2(x+1)2)e1x(x+1)x2(x+1)2)=0\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→0−((−2+2(2x+1)x+1+2(2x+1)x+(2x+1)2x2(x+1)2)e1x(x+1)x2(x+1)2)=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
lim⁡x→0+((−2+2(2x+1)x+1+2(2x+1)x+(2x+1)2x2(x+1)2)e1x(x+1)x2(x+1)2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=0x_{2} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−12−−9+636]∪[−12+−9+636,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−12−−9+636,−12+−9+636]\left[- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e1x(x+1)=1\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞e1x(x+1)=1\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(1/(x*(x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e1x(x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e1x(x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e1x(x+1)=e−1x(1−x)e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = e^{- \frac{1}{x \left(1 - x\right)}}
- No
e1x(x+1)=−e−1x(1−x)e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = - e^{- \frac{1}{x \left(1 - x\right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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