Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- e^ uno /(x(x+ uno))
- e en el grado 1 dividir por (x(x más 1))
- e en el grado uno dividir por (x(x más uno))
- e1/(x(x+1))
- e1/xx+1
- e^1/xx+1
- e^1 dividir por (x(x+1))
-
Expresiones semejantes
- e^1/(x(x-1))
Gráfico de la función y = e^1/(x(x+1))
Solución
Ha introducido
[src]
1
---------
x*(x + 1)
f(x) = E
$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}$$
f = E^(1/(x*(x + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 1\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 1\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
-4 (-1/2, e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(2 x + 1\right)}{x} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-9 + 6 \sqrt{3}}}{6}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(1/(x*(x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = e^{- \frac{1}{x \left(1 - x\right)}}$$
- No
$$e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = - e^{- \frac{1}{x \left(1 - x\right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = e^{- \frac{1}{x \left(1 - x\right)}}$$
- No
$$e^{\frac{1}{x \left(x + 1\right)}} = - e^{- \frac{1}{x \left(1 - x\right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar