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Trazado el gráfico de la función/ lg(x)+x^2

Gráfico de la función y = lg(x)+x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2
f(x) = log(x) + x
f(x)=x2+log⁡(x)f{\left(x \right)} = x^{2} + \log{\left(x \right)} 
f = x^2 + log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+log⁡(x)=0x^{2} + \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=e−W(2)2x_{1} = e^{- \frac{W\left(2\right)}{2}}
Solución numérica
x1=0.652918640419205x_{1} = 0.652918640419205
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x) + x^2.
log⁡(0)+02\log{\left(0 \right)} + 0^{2}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+1x=02 x + \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2−1x2=02 - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x2=22x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−22]∪[22,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−22,22]\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+log⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x) + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+log⁡(x)=x2+log⁡(−x)x^{2} + \log{\left(x \right)} = x^{2} + \log{\left(- x \right)}
- No
x2+log⁡(x)=−x2−log⁡(−x)x^{2} + \log{\left(x \right)} = - x^{2} - \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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