Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ |x-2|/(x^2-x-2)

Gráfico de la función y = |x-2|/(x^2-x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        |x - 2|  
f(x) = ----------
        2        
       x  - x - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x - 2}\right|}{\left(x^{2} - x\right) - 2}$$ 
f = |x - 2|/(x^2 - x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left|{x - 2}\right|}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x - 2|/(x^2 - x - 2).
$$\frac{\left|{-2}\right|}{-2 + \left(0^{2} - 0\right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left|{x - 2}\right|}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(\frac{\left(2 x - 1\right) \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{- x^{2} + x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 2} + 1\right) \left|{x - 2}\right|}{- x^{2} + x + 2} + \delta\left(x - 2\right)\right)}{- x^{2} + x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 2}\right|}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 2}\right|}{\left(x^{2} - x\right) - 2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x - 2|/(x^2 - x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 2}\right|}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 2}\right|}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left|{x - 2}\right|}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = \frac{\left|{x + 2}\right|}{x^{2} + x - 2}$$
- No
$$\frac{\left|{x - 2}\right|}{\left(x^{2} - x\right) - 2} = - \frac{\left|{x + 2}\right|}{x^{2} + x - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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