Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
y=(x^2+6)/(x^2+1)
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- x*sqrt(dos -x^ dos)+ dos *sqrt(dos -x^ dos)- dos +x^ dos
- x multiplicar por raíz cuadrada de (2 menos x al cuadrado ) más 2 multiplicar por raíz cuadrada de (2 menos x al cuadrado ) menos 2 más x al cuadrado
- x multiplicar por raíz cuadrada de (dos menos x en el grado dos) más dos multiplicar por raíz cuadrada de (dos menos x en el grado dos) menos dos más x en el grado dos
- x*√(2-x^2)+2*√(2-x^2)-2+x^2
- x*sqrt(2-x2)+2*sqrt(2-x2)-2+x2
- x*sqrt2-x2+2*sqrt2-x2-2+x2
- x*sqrt(2-x²)+2*sqrt(2-x²)-2+x²
- x*sqrt(2-x en el grado 2)+2*sqrt(2-x en el grado 2)-2+x en el grado 2
- xsqrt(2-x^2)+2sqrt(2-x^2)-2+x^2
- xsqrt(2-x2)+2sqrt(2-x2)-2+x2
- xsqrt2-x2+2sqrt2-x2-2+x2
- xsqrt2-x^2+2sqrt2-x^2-2+x^2
-
Expresiones semejantes
- x*sqrt(2-x^2)+2*sqrt(2+x^2)-2+x^2
- x*sqrt(2+x^2)+2*sqrt(2-x^2)-2+x^2
- x*sqrt(2-x^2)+2*sqrt(2-x^2)+2+x^2
- x*sqrt(2-x^2)-2*sqrt(2-x^2)-2+x^2
- x*sqrt(2-x^2)+2*sqrt(2-x^2)-2-x^2
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2)-x+1
- sqrt(x^2-4x+3)
- sqrt(x^2+4*x)
- sqrt(sin(sqrt(x)))
- sqrt(-x^2/(1+x^2))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2)-x+1
- sqrt(x^2-4x+3)
- sqrt(x^2+4*x)
- sqrt(sin(sqrt(x)))
- sqrt(-x^2/(1+x^2))
Gráfico de la función y = x*sqrt(2-x^2)+2*sqrt(2-x^2)-2+x^2
Solución
Ha introducido
[src]
________ ________
/ 2 / 2 2
f(x) = x*\/ 2 - x + 2*\/ 2 - x - 2 + x
$$f{\left(x \right)} = x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)$$
f = x^2 + x*sqrt(2 - x^2) + 2*sqrt(2 - x^2) - 2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
$$x_{3} = 1.4142135623731$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
$$x_{3} = 1.4142135623731$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 x - \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + \sqrt{2 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 x - \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + \sqrt{2 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)
(1, 2)
____________________ ____________________
2 / 2 / 2
___ / ___\ / / ___\ / / ___\ / ___\
1 \/ 3 | 1 \/ 3 | / | 1 \/ 3 | / | 1 \/ 3 | | 1 \/ 3 |
(- - - -----, -2 + |- - - -----| + 2* / 2 - |- - - -----| + / 2 - |- - - -----| *|- - - -----|)
2 2 \ 2 2 / \/ \ 2 2 / \/ \ 2 2 / \ 2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{x^{3}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 - \frac{2}{\sqrt{2 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.27058446361799$$
$$x_{2} = 0.240247219815383$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1.27058446361799, 0.240247219815383\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.27058446361799\right] \cup \left[0.240247219815383, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{x^{3}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 - \frac{2}{\sqrt{2 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.27058446361799$$
$$x_{2} = 0.240247219815383$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1.27058446361799, 0.240247219815383\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.27058446361799\right] \cup \left[0.240247219815383, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sqrt(2 - x^2) + 2*sqrt(2 - x^2) - 2 + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = x^{2} - x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}} - 2$$
- No
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = - x^{2} + x \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}} + 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = x^{2} - x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}} - 2$$
- No
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = - x^{2} + x \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}} + 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar