Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 x - \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + \sqrt{2 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)
(1, 2)
____________________ ____________________
2 / 2 / 2
___ / ___\ / / ___\ / / ___\ / ___\
1 \/ 3 | 1 \/ 3 | / | 1 \/ 3 | / | 1 \/ 3 | | 1 \/ 3 |
(- - - -----, -2 + |- - - -----| + 2* / 2 - |- - - -----| + / 2 - |- - - -----| *|- - - -----|)
2 2 \ 2 2 / \/ \ 2 2 / \/ \ 2 2 / \ 2 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$