Sr Examen

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Gráfico de la función y = x*sqrt(2-x^2)+2*sqrt(2-x^2)-2+x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            ________        ________         
           /      2        /      2         2
f(x) = x*\/  2 - x   + 2*\/  2 - x   - 2 + x 
$$f{\left(x \right)} = x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)$$
f = x^2 + x*sqrt(2 - x^2) + 2*sqrt(2 - x^2) - 2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
$$x_{3} = 1.4142135623731$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sqrt(2 - x^2) + 2*sqrt(2 - x^2) - 2 + x^2.
$$0^{2} + \left(-2 + \left(0 \sqrt{2 - 0^{2}} + 2 \sqrt{2 - 0^{2}}\right)\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2 + 2 \sqrt{2}$$
Punto:
(0, -2 + 2*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 x - \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + \sqrt{2 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

(1, 2)

                                            ____________________         ____________________               
                                2          /                  2         /                  2                
         ___       /        ___\          /      /        ___\         /      /        ___\   /        ___\ 
   1   \/ 3        |  1   \/ 3 |         /       |  1   \/ 3 |        /       |  1   \/ 3 |   |  1   \/ 3 | 
(- - - -----, -2 + |- - - -----|  + 2*  /    2 - |- - - -----|   +   /    2 - |- - - -----|  *|- - - -----|)
   2     2         \  2     2  /      \/         \  2     2  /     \/         \  2     2  /   \  2     2  / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{x^{3}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 - \frac{2}{\sqrt{2 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.27058446361799$$
$$x_{2} = 0.240247219815383$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1.27058446361799, 0.240247219815383\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.27058446361799\right] \cup \left[0.240247219815383, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sqrt(2 - x^2) + 2*sqrt(2 - x^2) - 2 + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \infty x \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = x^{2} - x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}} - 2$$
- No
$$x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = - x^{2} + x \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}} + 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar