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Trazado el gráfico de la función/ x*sqrt(2-x^2)+2*sqrt(2-x^2)-2+x^2

Gráfico de la función y = x*sqrt(2-x^2)+2*sqrt(2-x^2)-2+x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ________        ________         
           /      2        /      2         2
f(x) = x*\/  2 - x   + 2*\/  2 - x   - 2 + x
f(x)=x2+((x2−x2+22−x2)−2)f{\left(x \right)} = x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) 
f = x^2 + x*sqrt(2 - x^2) + 2*sqrt(2 - x^2) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+((x2−x2+22−x2)−2)=0x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x3=2x_{3} = \sqrt{2}
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=−1.4142135623731x_{2} = -1.4142135623731
x3=1.4142135623731x_{3} = 1.4142135623731
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sqrt(2 - x^2) + 2*sqrt(2 - x^2) - 2 + x^2.
02+(−2+(02−02+22−02))0^{2} + \left(-2 + \left(0 \sqrt{2 - 0^{2}} + 2 \sqrt{2 - 0^{2}}\right)\right)
Resultado:
f(0)=−2+22f{\left(0 \right)} = -2 + 2 \sqrt{2}
Punto:
(0, -2 + 2*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x22−x2+2x−2x2−x2+2−x2=0- \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 x - \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + \sqrt{2 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=−32−12x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

(1, 2)

                                            ____________________         ____________________               
                                2          /                  2         /                  2                
         ___       /        ___\          /      /        ___\         /      /        ___\   /        ___\ 
   1   \/ 3        |  1   \/ 3 |         /       |  1   \/ 3 |        /       |  1   \/ 3 |   |  1   \/ 3 | 
(- - - -----, -2 + |- - - -----|  + 2*  /    2 - |- - - -----|   +   /    2 - |- - - -----|  *|- - - -----|)
   2     2         \  2     2  /      \/         \  2     2  /     \/         \  2     2  /   \  2     2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
x1=−32−12x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−32−12]∪[−1,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x3(2−x2)32−2x2(2−x2)32−3x2−x2+2−22−x2=0- \frac{x^{3}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{\left(2 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + 2 - \frac{2}{\sqrt{2 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.27058446361799x_{1} = -1.27058446361799
x2=0.240247219815383x_{2} = 0.240247219815383

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1.27058446361799,0.240247219815383]\left[-1.27058446361799, 0.240247219815383\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.27058446361799]∪[0.240247219815383,∞)\left(-\infty, -1.27058446361799\right] \cup \left[0.240247219815383, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+((x2−x2+22−x2)−2))=−∞sign⁡(−1+i)\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−∞sign⁡(−1+i)y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
lim⁡x→∞(x2+((x2−x2+22−x2)−2))=∞sign⁡(1+i)\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞sign⁡(1+i)y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sqrt(2 - x^2) + 2*sqrt(2 - x^2) - 2 + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+((x2−x2+22−x2)−2)x)=∞sign⁡(−1+i)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=∞xsign⁡(−1+i)y = \infty x \operatorname{sign}{\left(-1 + i \right)}
lim⁡x→∞(x2+((x2−x2+22−x2)−2)x)=∞sign⁡(1+i)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=∞xsign⁡(1+i)y = \infty x \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+((x2−x2+22−x2)−2)=x2−x2−x2+22−x2−2x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = x^{2} - x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}} - 2
- No
x2+((x2−x2+22−x2)−2)=−x2+x2−x2−22−x2+2x^{2} + \left(\left(x \sqrt{2 - x^{2}} + 2 \sqrt{2 - x^{2}}\right) - 2\right) = - x^{2} + x \sqrt{2 - x^{2}} - 2 \sqrt{2 - x^{2}} + 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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