Gráfico de la función y = (x-4)*(x-6)-(x-2)*(x+2)

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f(x) = (x - 4)*(x - 6) - (x - 2)*(x + 2)

f{\left(x \right)} = \left(x - 6\right) \left(x - 4\right) - \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)

f = (x - 6)*(x - 4) - (x - 2)*(x + 2)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\left(x - 6\right) \left(x - 4\right) - \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = \frac{14}{5}

Solución numérica

x_{1} = 2.8

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 4)*(x - 6) - (x - 2)*(x + 2).

- \left(-1\right) 2 \cdot 2 - -24

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 28

Punto:

(0, 28)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

-10 = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

0 = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 6\right) \left(x - 4\right) - \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 6\right) \left(x - 4\right) - \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 4)*(x - 6) - (x - 2)*(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 6\right) \left(x - 4\right) - \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = -10

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:

y = - 10 x

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 6\right) \left(x - 4\right) - \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)}{x}\right) = -10

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:

y = - 10 x

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\left(x - 6\right) \left(x - 4\right) - \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) = - \left(2 - x\right) \left(- x - 2\right) + \left(- x - 6\right) \left(- x - 4\right)

- No

\left(x - 6\right) \left(x - 4\right) - \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) = \left(2 - x\right) \left(- x - 2\right) - \left(- x - 6\right) \left(- x - 4\right)

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico de la función y = (x-4)(x-6)-(x-2)(x+2)