Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (((x-4)*(x-5))*(x-6))*(x-7)

Gráfico de la función y = (((x-4)*(x-5))*(x-6))*(x-7)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = (x - 4)*(x - 5)*(x - 6)*(x - 7)
f(x)=(x−5)(x−4)(x−6)(x−7)f{\left(x \right)} = \left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) 
f = (((x - 5)*(x - 4))*(x - 6))*(x - 7)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000100000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−5)(x−4)(x−6)(x−7)=0\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4x_{1} = 4
x2=5x_{2} = 5
x3=6x_{3} = 6
x4=7x_{4} = 7
Solución numérica
x1=6x_{1} = 6
x2=5x_{2} = 5
x3=7x_{3} = 7
x4=4x_{4} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x - 4)*(x - 5))*(x - 6))*(x - 7).
(−7)(−6)(−−20)\left(-7\right) \left(-6\right) \left(- -20\right)
Resultado:
f(0)=840f{\left(0 \right)} = 840
Punto:
(0, 840)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−5)(x−4)(x−6)+(x−7)((x−6)(2x−9)+(x−5)(x−4))=0\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) + \left(x - 7\right) \left(\left(x - 6\right) \left(2 x - 9\right) + \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=112x_{1} = \frac{11}{2}
x2=112−52x_{2} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x3=52+112x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(11/2, 9/16)

        ___  /      ___\ /        ___\ /        ___\ /      ___\ 
 11   \/ 5   |1   \/ 5 | |  3   \/ 5 | |  1   \/ 5 | |3   \/ 5 | 
(-- - -----, |- - -----|*|- - - -----|*|- - - -----|*|- - -----|)
 2      2    \2     2  / \  2     2  / \  2     2  / \2     2  / 

        ___  /      ___\ /        ___\ /        ___\ /      ___\ 
 11   \/ 5   |1   \/ 5 | |  3   \/ 5 | |  1   \/ 5 | |3   \/ 5 | 
(-- + -----, |- + -----|*|- - + -----|*|- - + -----|*|- + -----|)
 2      2    \2     2  / \  2     2  / \  2     2  / \2     2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=112−52x_{1} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=52+112x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=112x_{2} = \frac{11}{2}
Decrece en los intervalos
[112−52,112]∪[52+112,∞)\left[\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{11}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,112−52]∪[112,52+112]\left(-\infty, \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{11}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3(x−7)(x−5)+(x−6)(2x−9)+(x−5)(x−4))=02 \left(3 \left(x - 7\right) \left(x - 5\right) + \left(x - 6\right) \left(2 x - 9\right) + \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=112−156x_{1} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}
x2=156+112x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,112−156]∪[156+112,∞)\left(-\infty, \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[112−156,156+112]\left[\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}, \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−5)(x−4)(x−6)(x−7))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−5)(x−4)(x−6)(x−7))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 4)*(x - 5))*(x - 6))*(x - 7), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−7)(x−6)(x−5)(x−4)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 7\right) \left(x - 6\right) \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−7)(x−6)(x−5)(x−4)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 7\right) \left(x - 6\right) \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−5)(x−4)(x−6)(x−7)=(−x−7)(−x−6)(−x−5)(−x−4)\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = \left(- x - 7\right) \left(- x - 6\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)
- No
(x−5)(x−4)(x−6)(x−7)=−(−x−7)(−x−6)(−x−5)(−x−4)\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = - \left(- x - 7\right) \left(- x - 6\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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