Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (((x- cuatro)*(x- cinco))*(x- seis))*(x- siete)
- (((x menos 4) multiplicar por (x menos 5)) multiplicar por (x menos 6)) multiplicar por (x menos 7)
- (((x menos cuatro) multiplicar por (x menos cinco)) multiplicar por (x menos seis)) multiplicar por (x menos siete)
- (((x-4)(x-5))(x-6))(x-7)
- x-4x-5x-6x-7
-
Expresiones semejantes
- (((x-4)*(x+5))*(x-6))*(x-7)
- (((x-4)*(x-5))*(x+6))*(x-7)
- (((x+4)*(x-5))*(x-6))*(x-7)
- (((x-4)*(x-5))*(x-6))*(x+7)
Gráfico de la función y = (((x-4)*(x-5))*(x-6))*(x-7)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = (x - 4)*(x - 5)*(x - 6)*(x - 7)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right)$$
f = (((x - 5)*(x - 4))*(x - 6))*(x - 7)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 6$$
$$x_{4} = 7$$
Solución numérica
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 7$$
$$x_{4} = 4$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 6$$
$$x_{4} = 7$$
Solución numérica
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 7$$
$$x_{4} = 4$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) + \left(x - 7\right) \left(\left(x - 6\right) \left(2 x - 9\right) + \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
$$x_{2} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{11}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{11}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{11}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) + \left(x - 7\right) \left(\left(x - 6\right) \left(2 x - 9\right) + \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
$$x_{2} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(11/2, 9/16)
___ / ___\ / ___\ / ___\ / ___\ 11 \/ 5 |1 \/ 5 | | 3 \/ 5 | | 1 \/ 5 | |3 \/ 5 | (-- - -----, |- - -----|*|- - - -----|*|- - - -----|*|- - -----|) 2 2 \2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 /
___ / ___\ / ___\ / ___\ / ___\ 11 \/ 5 |1 \/ 5 | | 3 \/ 5 | | 1 \/ 5 | |3 \/ 5 | (-- + -----, |- + -----|*|- - + -----|*|- - + -----|*|- + -----|) 2 2 \2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{11}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{11}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{11}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{11}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 \left(x - 7\right) \left(x - 5\right) + \left(x - 6\right) \left(2 x - 9\right) + \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}, \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 \left(x - 7\right) \left(x - 5\right) + \left(x - 6\right) \left(2 x - 9\right) + \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{15}}{6}, \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{11}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 4)*(x - 5))*(x - 6))*(x - 7), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 7\right) \left(x - 6\right) \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 7\right) \left(x - 6\right) \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 7\right) \left(x - 6\right) \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 7\right) \left(x - 6\right) \left(x - 5\right) \left(x - 4\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = \left(- x - 7\right) \left(- x - 6\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)$$
- No
$$\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = - \left(- x - 7\right) \left(- x - 6\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = \left(- x - 7\right) \left(- x - 6\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)$$
- No
$$\left(x - 5\right) \left(x - 4\right) \left(x - 6\right) \left(x - 7\right) = - \left(- x - 7\right) \left(- x - 6\right) \left(- x - 5\right) \left(- x - 4\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar